Lernmodul: Algebraische Gleichungen höheren Grades und Bruchgleichungen
Faktorzerlegung
Ist eine Lösung der algebraischen Gleichung bekannt, kann man also durch Polynomdivision die Gleichung in Faktoren zerlegen. Man erhält einen Linearfaktor und ein Restpolynom mit einem Grad, der um eins kleiner ist als das ursprüngliche Polynom. Jetzt lässt sich für das Restpolynom wiederum eine Polynomdivision anwenden (wenn eine weitere Lösung bekannt ist) oder man erhält die restlichen Lösungen direkt mithilfe der \(pq\)- oder der \(abc\)-Formel.
Es gibt natürlich auch die Möglichkeit, dass von der verbleibenden Gleichung keine Lösung gefunden werden kann.
Beispiel:
\(x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)=0\)
\(x^2-5x+6=0\) | \(\quad|\) \(pq\)-Formel anwenden |
\(x_{1,2}=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{1}{2}\) | |
\(x_1=2\) | |
\(x_2=3\) |
Wir können zusammenfassen:
\(\tiny\blacksquare\) | \(\enspace\) | Linearfaktorzerlegung von \(x^3-6x^2+11x-6\): |
\((x-1)(x-2)(x-3)\) | ||
\(\tiny\blacksquare\) | Lösungsmenge von \(x^3-6x^2+11x-6=0\): | |
\(\mathbb{L}=\left\{1;2;3\right\}\) |
Beispiel:
\((x^4+x^3-3x^2+7x-6):(x+3)\)
\(\enspace\)
\(\enspace\)
Eine algebraische Gleichung n-ten Grades kann maximal \(n\) reelle Nullstellen haben. Ist eine Nullstelle des Polynoms bekannt, kann man mithilfe der Polynomdivision das Polynom zerlegen. Man erhält eine Zerlegung in einen Linearfaktor und in einen algebraischen Faktor mit Grad \(n-1\). Ist auch bei diesem zweiten Faktor eine Nullstelle bekannt, dann kann man auch diesen Faktor in einen Linearfaktor und einen algebraischen Faktor mit Grad \(n-2\) zerlegen. Solange das Restpolynom noch reelle Nullstellen besitzt, können wir diesen Vorgang wiederholen.
Das Polynom n-ten Grades lässt sich also wie folgt zerlegen:
Definition:
Jedes Polynom hat eine Faktorzerlegung
\(\qquad\) | \(a_nx^n\) \(+a_{n-1}x^{n-1}\) \(+\ldots\) \(+a_1x\) \(+a_0\) \(=a_n\cdot\,(x-x_1)\) \(\cdot\,(x-x_2)\) \(\cdot\,(x-x_3)\) \(\cdot\ldots\cdot\,(x-x_k)\) \(\cdot \,g(x)\) \(=a_n\cdot \left(\prod\limits_{i=1}^{k}(x-x_i)\right)\cdot g(x)\) |
wobei \(x_1, \ldots, x_k\) die Nullstellen des Polynoms sind und \(g(x)\) ein Polynom vom Grad \(n-k\) ist, das keine reellen Nullstellen mehr hat.
Eine Nullstelle kann bei der Faktorzerlegung auch mehrfach auftreten. Wie oft eine Nullstelle in der Faktorzerlegung vorkommt, wird als Vielfachheit der Nullstelle bezeichnet.
Merke:
Unter der Vielfachheit einer Nullstelle wird die Häufigkeit bezeichnet, mit der die Nullstelle in der Faktorzerlegung vorkommt.
Beispiel:
\(x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2\)
Nullstelle | Vielfachheit |
\(x_1=-1\) | \(1\) |
\(x_2=2\) | \(2\) |
Summiert man die Vielfachheiten der Nullstellen und entspricht das Ergebnis dem Grad der Funktion, dann konnte man das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Ist die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen jedoch kleiner als der Grad der Funktion, dann gibt es außer reellen Nullstellen auch noch komplexe Nullstellen. Komplexe Nullstellen führen zu quadratischen Faktoren in der Faktorzerlegung, die man im Reellen nicht weiter zerlegen kann.
Von einer Linearfaktorzerlegung spricht man also nur dann, wenn das Polynom ausschließlich in Linearfaktoren zerlegt werden kann. Ist dies nicht der Fall, dann spricht man von einer Faktorzerlegung.
Beispiele:
\(x^3-3x^2+4\) | \(=(x+1)(x-2)^2\) | \(\quad\) | Das Polynom kann in Linearfaktoren zerlegt werden. |
Die Summe der Vielfachheiten \((1+2)\) stimmt mit dem Grad der Funktion \((3)\) überein. | |||
\(x^3-3x^2+x-3\) | \(=(x-3)(x^2+1)\) | Das Polynom kann in \(\mathbb{R}\) nicht in Linearfaktoren zerlegt werden. | |
Die Summe der Vielfachheiten \((1)\) stimmt nicht mit dem Grad der Funktion \((3)\) überein. |
Erklärung Lösung:
Erläuterung:
|  |
Erklärung Lösung: \((x-1)(x+2)(x+3)=0\) Erläuterung: \(x_1=1\enspace\) ist eine Nullstelle. Man kann also das Polynom durch \(\enspace(x-1)\enspace\) teilen. \(\qquad \enspace \ \, (x^3+4x^2+x-6):(x-1)=x^2+5x+6\) Die Nullstellen von \(\enspace x^2+5x+6 \enspace\)erhält man mit der \(pq\)-Formel: \(\qquad x=-\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{1}{2}\enspace\implies\enspace x_2=-3,\quad x_3=-2\) Die Linearfaktorzerlegung lautet: \(\qquad (x-1)(x+2)(x+3)=0\) | |
\(\enspace\)