Lernmodul: Grundlegende Definitionen und Regeln
Fakultät
Definition:
Die Fakultät der natürlichen Zahl \(n\) ist das Produkt der natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(n\). Man bezeichnet sie mit \(n!\) (gesprochen "\(n\) Fakultät") und berechnet sie wie folgt:
\(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n\)
Außerdem wird festgelegt: \(\enspace 0! = 1\)
Beispiele:
\(0!\) | \(= 1\) | |
\(1!\) | \(= 1\) | |
\(2!\) | \(= 1 \cdot 2\) | \(= 2\) |
\(3!\) | \(= 1 \cdot 2 \cdot 3\) | \(= 6\) |
\(4!\) | \(= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\) | \(= 24\) |
\(5!\) | \(= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5\) | \(= 120\) |
Die Fakultät wächst sehr schnell und lässt sich für größere Zahlen mit dem Taschenrechner nicht mehr exakt angeben. So wird z.B. \(13!\) \(= 6\ 227\ 020\ 800\) noch exakt angezeigt. Aber bereits \(14!\) lässt sich nur noch näherungsweise mit \(8.71782912 \cdot 10^{10}\) darstellen.
Die größte Fakultät, die mit einem handelsüblichen Taschenrechner berechnet werden kann, ist \(69!\). Dieser Wert ist ungefähr \(1.7 \cdot 10^{98}\). Aber bereits \(70!\) liegt mit ungefähr \(1.2\cdot 10^{100}\) außerhalb des Zahlenbereichs, der für den Taschenrechner zur Verfügung steht.
Die Fakultäten größerer Zahlen lassen sich näherungsweise mit der Stirlingschen Formel berechnen:
\(n! \approx \left(\dfrac{n}{e}\right)^n\cdot \sqrt {2\cdot \pi \cdot n}\)
Beispiele:
\(n\) | \(\quad\) | \(n!\) | \(\quad\) | \(\left(\dfrac{n}{e}\right)^n\cdot \sqrt {2\cdot \pi \cdot n}\) |
\(13!\) | \(= 6\ 227 \ 020 \ 800\) | \(\approx 6 \ 187 \ 239 \ 475\) | ||
\(14!\) | \(= 87\ 178 \ 291 \ 200\) | \(\approx 86 \ 661 \ 001 \ 741\) | ||
\(20!\) | \(= 2\ 432\ 902\ 008\ 176\ 640\ 000\) | \(\approx 2\ 422\ 786\ 846\ 761\ 133\ 394\) |
Erklärung <strong>Lösung:</strong> Es gibt \(720\) Anordnungsmöglichkeiten. <strong>Erläuterung:</strong> Um \(6\) verschiedene Gegenstände anzuordnen, gibt es genau \(6!\) \(=1\cdot2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6\) \(=720\) unterschiedliche Möglichkeiten. |  |
\(\enspace\)