In diesem Lernmodul beschäftigen wir uns mit Logarithmen. Das erste bekannte System zur Berechnung von Logarithmen wurde im 17. Jahrhundert vorgeschlagen, und zwar von dem schottischen Mathematiker John Napier (1550 – 1617) unter dem schönen Titel "A Description of the Wonderful Law of Logarithms" (Mirifici logarithmorum canonis descriptio). Parallel dazu entwickelte der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi (1558 – 1632) ein ganz ähnliches System. Die Logarithmen trugen entscheidend zur Weiterentwicklung des mechanischen Rechenschiebers bei. Vor der Erfindung und allgemeinen Verbreitung des Taschenrechners waren Rechenschieber ein essentielles Arbeits- und Hilfsmittel für Mathematiker und Techniker.

Die Herleitung der Logarithmengesetze erfolgt über die Potenzgesetze, die im vorherigen Lernmodul ("3.2 Wurzeln und Potenzen mit rationalen und irrationalen Exponenten") erläutert wurden. Wir betrachten Gleichungen der Form \(b^x=a\). Der Exponent einer Potenz ist also unbekannt und wir suchen Werte, die dieser Exponent \(x\) annehmen kann, um diese Gleichung zu lösen. Eine solche Lösung \(x\) bezeichnen wir mit \(x=\log_b(a)\) und nennen sie den Logarithmus von \(a\) zur Basis \(b\). Besonders häufig werden Sie dabei Logarithmen zur Basis \(10\), zur Basis \(2\) und zur Basis mit der Eulerschen Zahl \(e\) begegnen.