Lernmodul: Algebraische Gleichungen
Normalform des Satzes von Vieta
Der Satz von Vieta ist nach dem französischen Advokaten und Mathematiker François Viète (1540 – 1603) – oder latinisiert Franciscus Vieta – benannt. Vieta hatte durch die Einführung von Buchstaben als Variablen und die Verwendung von Symbolen für Rechenoperationen einen großen Anteil an der Einführung der modernen Algebra in Europa.
Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang her zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und deren Lösungen.
Satz von Vieta:
Seien \(p\) und \(q\) die Koeffizienten der quadratischen Gleichung
\(\qquad x^2+px+q=0\)
und \(x_1\) und \(x_2\) die Lösungen der Gleichung, dann gilt:
\(\qquad\begin {array}{cccccc}x_1&+&x_2&=&-p \\ x_1 &\cdot &x_2 &=&q\end {array}\)
Der Beweis des Satzes von Vieta erfolgt direkt durch das Einsetzen der Lösungen der \(pq\)-Formel:
\(\qquad x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\qquad\) oder
\(\qquad x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{D}\quad\) mit \(\quad D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\)
Addiere \(x_1\) und \(x_2\):
\(\qquad\) | \(x_1+x_2\ \) | \(=\left(-\dfrac{p}{2}+\sqrt{D}\right)+\left(-\dfrac{p}{2}-\sqrt{D}\right)\) |
\(=-\dfrac{p}{2}+\sqrt{D}-\dfrac{p}{2}-\sqrt{D}\) | ||
\(=-\dfrac{p}{2}-\dfrac{p}{2}\) | ||
\(x_1+x_2\ \) | \(=-p\) |
Multipliziere \(x_1\) und \(x_2\):
\(\qquad\) | \(x_1 \cdot x_2\ \) | \(=\left(-\dfrac{p}{2}+\sqrt{D}\right) \cdot \left(-\dfrac{p}{2}-\sqrt{D}\right)\) | \(\quad|\enspace\) | 3. binomische Formel |
\(=\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\sqrt{D}\right)^2\) | ||||
\(=\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-D\) | \(\quad|\enspace\) | \(D \,\) einsetzen | ||
\(=\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\right)\) | ||||
\(=\left(-\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2+q\) | ||||
\(x_1 \cdot x_2\ \) | \(=q\) |
Der Satz von Vieta kann gut zur Überprüfung der Lösungen einer quadratischen Gleichung eingesetzt werden.
Beispiel:
Die quadratische Gleichung
\(\qquad x^2+x-6=0\)
hat die Lösungen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 2\).
Probe:
Wir machen die Probe:
\(\qquad\) | \(x_1+x_2 \ \) | \( = -3 + 2\ \) | \( =-1\ \) | \( =-p\) | \(\qquad \checkmark\) |
\(x_1 \cdot x_2 \ \) | \( = (-3) \cdot 2\ \) | \( = -6\ \) | \( = q \) | \( \qquad \checkmark\) |
Mit Hilfe des Satzes von Vieta kann man zeigen, dass sich eine quadratische Gleichung als Produkt von Linearfaktoren schreiben lässt.
Hierzu setzen wir
\(\qquad p=-(x_1+x_2)\quad\) und \(\quad q=x_1 \cdot x_2\)
in die Normalform einer quadratischen Gleichung ein:
\(\qquad\) | \(x^2+px+q\ \) | \(=x^2-(x_1+x_2)x+x_1 \cdot x_2\) | \(\quad|\ \) | ausmultiplizieren |
\(=x^2-x_1\cdot x-x_2 \cdot x+x_1 \cdot x_2\) | \(\quad|\ \) | \(x \) und \(x_2 \) ausklammern | ||
\(=x(x-x_1)-x_2(x-x_1)\) | \(\quad|\ \) | \(x-x_1 \,\) ausklammern | ||
\(=(x-x_1)\cdot (x-x_2)\) |
Beispiel:
Die quadratische Gleichung
\(\qquad x^2+x-6=0\)
hat die Lösungen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 2\).
Dann gilt:
\(\qquad x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0\)
Erklärung Lösung: \(x_2 = 1.5\) Erläuterung: Nach dem Satz von Vieta gilt für \(q\): \(\qquad x_1\cdot x_2 = q\) \(\qquad -2\cdot x_2 = - 3 \quad\implies\quad x_2 = \dfrac{3}{2}\) Alternativ kann man auch den Satz von Vieta für \(p\) anwenden: \(\qquad x_1 + x_2 = - p\) \(\qquad -2 + x_2 = -\dfrac{1}{2} \quad\implies\quad x_2 = \dfrac{3}{2}\) |  |
\(\enspace\)