Lernmodul: Algebraische Gleichungen höheren Grades und Bruchgleichungen
Suche nach Lösungen
Ist eine Nullstelle \(x_0\) einer algebraischen Gleichung bekannt, dann kann man die Polynomdivision mit dem Nenner \((x-x_0)\) durchführen, um das Polynom in Faktoren zu zerlegen. Dies wird aber nicht immer der Fall sein. Sind keine Nullstellen der algebraischen Gleichung bekannt, so bleibt oft nur das Raten einer Nullstelle übrig.
Sind alle Koeffizienten \(a_i\) einer algebraischen Gleichung ganzzahlig, so wird eine ganzzahlige Nullstelle der Gleichung ein Teiler des absoluten Gliedes \(a_0\) sein. Dies wollen wir nun zeigen.
Gegeben ist eine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten \(a_i\).
\(\qquad a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0=0\)\(\quad\) mit \(\quad\)\(a_i\in \mathbb{Z}\)
Ist \(x_0\) eine von Null verschiedene Nullstelle, dann kann man \(x_0\) in die Gleichung einsetzen und erhält:
\(\qquad a_nx_0^n + a_{n-1}x_0^{n-1} + \ldots + a_1x_0 + a_0=0\)
Durch Umformungen erhält man:
\(\qquad x_0(a_nx_0^{n-1} + a_{n-1}x_0^{n-2} + \ldots + a_1) + a_0=0\)
\(\qquad a_0=-x_0(a_nx_0^{n-1} + a_{n-1}x_0^{n-2} + \ldots + a_1)\)
Ist die Nullstelle \(x_0\) ganzzahlig und sind nach Voraussetzung alle Koeffizienten \(a_i\) ganzzahlig, dann ist die linke Seite der Gleichung ganzzahlig und beide Faktoren der rechten Seite sind ganzzahlig. Demnach muss die Nullstelle \(x_0\) ein Teiler von \(a_0\) sein.
Merke:
Gegeben ist eine algebraischen Gleichung mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten. Eine ganzzahlige Nullstelle der algebraischen Gleichung muss ein Teiler des konstanten Glieds \(a_0\) sein.
Die Umkehrung gilt übrigens nicht: Die Teiler von \(a_0\) sind nicht unbedingt alle Nullstellen der algebraischen Gleichung.
Sind alle Koeffizienten \(a_i\) der algebraischen Gleichung bekannt und ganzzahlig, dann kann man sich bei der Suche nach ganzzahligen Lösungen auf die Teiler des konstanten Gliedes \(a_0\) beschränken. Man probiert also die Teiler durch und erhält so die ganzzahligen Lösungen der Gleichung.
Es kann darüber hinaus noch weitere Lösungen geben. So hat die Gleichung \(2x^2-3x+1=0\) die Lösungen \(x_1=1\) und \(x_2 = 0.5\), d.h. sie hat außer der ganzzahligen Lösung noch eine weitere nicht-ganzzahlige Lösung.
Die algebraische Gleichung kann auch keine reellen Lösungen haben. Die Gleichung \(x^2+1=0\) hat z.B. keine reelle Lösung und damit auch keine ganzzahlige Lösung.
Beispiel:
\(x^3-3x^2+x-3=0\)
Teiler des konstanten Glieds \(-3\) sind:\(\quad\pm 1\quad\) und \(\quad\pm 3\)
\(\bullet\enspace\) | Teiler\(\enspace -1\): |
\((-1)^3-3\cdot(-1)^2+(-1)-3\) \(=-1-3-1-3\ne0\) | |
\(-1\) ist keine Nullstelle der Gleichung. | |
\(\bullet\enspace\) | Teiler\(\enspace 1\): |
\(1^3-3\cdot 1^2+1-3\) \(=1-3+1-3\ne0\) | |
\(1\) ist keine Nullstelle der Gleichung. | |
\(\bullet\enspace\) | Teiler\(\enspace -3\): |
\((-3)^3-3\cdot(-3)^2+(-3)-3\) \(=-27-27-3-3\ne0\) | |
\(-3\) ist keine Nullstelle der Gleichung. | |
\(\bullet\enspace\) | Teiler\(\enspace 3\): |
\(3^3-3\cdot 3^2 + 3 - 3\) \(=27-27+3-3=0\) | |
\(3\) ist eine Nullstelle der Gleichung. |
Mit der Nullstelle \(x_1=3\) kann man die Polynomdivision durchführen:
\(\qquad \enspace \ \, (x^3-3x^2+x-3):(x-3)=x^2+1\)
\(\qquad \underline{-\,(x^3-3x^2)\hspace{3.5em}}\)
\(\qquad \hspace{6.3em}x-3\)
\(\qquad \hspace{5em}\underline{-\,(x-3)}\)
\(\qquad \hspace{7.7em}\ \,0\)
Das Restpolynom \((x^2+1)\) hat keine reellen Nullstellen mehr.
Die algebraische Gleichung \(\enspace x^3-3x^2+x-3=0 \enspace\) hat die folgende reelle Nullstelle und Faktorzerlegung:
Nullstelle: | \(\quad\) | \(3\) |
Faktorzerlegung: | \((x-3)(x^2+1)\) |
Erklärung Lösung: \(x_1=-3, \quad x_2=-1, \quad x_3=1\) Erläuterung: Teiler des konstanten Glieds \(-3\) sind:\(\quad\pm 1\quad\) und \(\quad\pm 3\) Wir setzen \(-1\) in die Gleichung ein und erhalten: \(\qquad(-1)^3+3\cdot (-1)^2-(-1)-3=0\) Das heißt, \(-1\) ist eine Nullstelle der Gleichung. Polynomdivision: \(\qquad \enspace \ \, (x^3+3x^2-x-3):(x+1)=x^2+2x-3\) Das Restpolynom \(\enspace x^2+2x-3\enspace\) hat die Nullstellen \(\enspace x=-3\enspace\) und \(\enspace x=1\). |  |
\(\enspace\)