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Notationen zum Kurs "0 Mathematische Grundlagen"
Symbol | alternativ | Beschreibung / Beispiel |
\(+,-\) | Summe, Differenz | |
\(\pm, \mp\) | Plusminuszeichen, Minuspluszeichen Beispiel: \(\enspace \pm 2\), d.h. \(+2\) oder \(-2\) Beispiel: \(\enspace a \pm b=c \mp d\), d.h. \(a+b=c-d\) oder \(a-b=c+d\) | |
\(\cdot\) | Multiplikation (auch \(xy = x \cdot y\)) | |
\(\div,\) / | \(:\,,\frac{\enspace}{}\) | Division (auch \(\frac{x}{y} = x \cdot y^{-1}\) ) |
\(=,\neq\) | gleich, ungleich | |
:= | Die linke Seite wird durch die rechte Seite des Gleichheitszeichens definiert. Beispiel: \(\enspace x:=3\), d.h. es wird festgelegt, dass \(x\) den Wert \(3\) hat. | |
\(\approx\) | ungefähr Beispiel: \(\enspace \pi\approx 3.1415\) | |
\(<, \le\) | kleiner, kleiner oder gleich | |
\(>, \ge\) | größer, größer oder gleich | |
\(\emptyset\) | \(\{\enspace\}\) | leere Menge Menge, die keine Elemente enthält. |
\(\{a_1;\dots;a_n\}\) | \(\{a_1,\dots,a_n\}\) | Menge in aufzählender Darstellung Beispiel: \(\enspace \{1;2;3\}\), d.h. Menge der Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\) |
\(\{m \,|\, m \) hat die Eigenschaft \(E\}\) | Menge in beschreibender Darstellung Beispiel: \(\enspace \{n\in\mathbb{N} \, | \, 1\le n \le 3\}\), d.h. die Menge der Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\) | |
\([a,b], ]a,b], \) \([a,b[, ]a,b[ \) | Menge in Intervallschreibweise Beispiel: \(\enspace ]-2,\infty[\), d.h. alle reellen Zahlen größer \(-2\) | |
\(\mathbb{N}\) | \(\mathbb{N}_0\) | Menge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\dots\}\) |
\(\mathbb{N}^*\) | \(\mathbb{N}_+,\mathbb{N}^+,\mathbb{N}_{>0},\) \(\mathbb{N} \setminus \{0\}\) | Menge der natürlichen Zahlen ohne \(0\) \(\mathbb{N}^*=\{1;2;3;\dots\}\) |
\(\mathbb{Z}\) | Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}=\{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}\) | |
\(\mathbb{Q}\) | Menge der rationalen Zahlen Alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. \(\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{p}{q}\ \Big\vert \ p,q \in \mathbb{Z}, q \ne 0\right\}\) | |
\(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) | Menge der irrationalen Zahlen Alle Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann. Beispiel: \(\enspace \sqrt{3}\) | |
\(\mathbb{R}\) | Menge der reellen Zahlen Alle Zahlen, die man auf einem Zahlenstrahl darstellen kann. | |
\(\mathbb{R}^+\) | \(\mathbb{R}_+\) | Menge der positiven reellen Zahlen \(\mathbb{R}^+=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x >0\}=\, ]0;\infty[\) |
\(\mathbb{R}^+_0\) | Menge der nicht-negativen reellen Zahlen \(\mathbb{R}^+_0=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x \ge 0\}=[0;\infty[\) | |
\(\mathbb{R}^-\) | \(\mathbb{R}_-\) | Menge der negativen reellen Zahlen \(\mathbb{R}^-=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x <0\}=\, ]\infty;0[\) |
\(\mathbb{R}^-_0\) | Menge der nicht-positiven reellen Zahlen \(\mathbb{R}^-_0=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x \le 0\}=\,]\infty;0]\) | |
\(A\subset B\) | echte Teilmenge, echte Untermenge \(A\) ist in \(B\) enthalten, \(A\) ist aber nicht gleich \(B\) Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\}\), d.h. \(A\subset B\), \(A\) ist eine echte Teilmenge von \(B\) | |
\(B\supset A\) | echte Obermenge Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{1,2,3\}\), d.h. \(B\supset A\), \(B\) ist eine echte Obermenge von \(A\) | |
\(A\subseteq B\) | Teilmenge, Untermenge \(A\) ist in \(B\) enthalten, \(A\) kann auch gleich \(B\) sein Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{1,2\}\), d.h. \(A\subseteq B\), \(A\) ist eine Teilmenge von \(B\) | |
\(B\supseteq A\) | Obermenge Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{1,2\}\), d.h. \(B\supseteq A\), \(B\) ist eine Obermenge von \(A\) | |
\(A\nsubseteq B\) | keine Teilmenge, keine Untermenge \(A\) ist nicht in \(B\) enthalten Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{2,3\}\), d.h. \(A\nsubseteq B\), \(A\) ist keine Teilmenge von \(B\) | |
\(B\nsupseteq A\) | keine Obermenge Beispiel: \(\enspace A=\{1,2\}, B=\{2,3\}\), d.h. \(B\nsupseteq A\), \(B\) ist keine Obermenge von \(A\) | |
\(A\cap B\) | Schnittmenge Menge der Elemente, die gleichzeitig in der Menge \(A\) und in der Menge \(B\) vorhanden sind. Sprechweise: \(A\) geschnitten \(B\) Beispiel: \(\enspace A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}\), dann ist \(A \cap B = \{2,3\}\) | |
\(A\cup B\) | Vereinigungsmenge Menge der Elemente, die entweder in der Menge \(A\) oder in der Menge \(B\) oder in den beiden Mengen \(A\) und \(B\) vorhanden sind. Sprechweise: \(A\) vereinigt \(B\) Beispiel: \(\enspace A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}\), dann ist \(A \cup B = \{1,2,3,4\}\) | |
\(A\setminus B\) | Restmenge Menge der Elemente, die in der Menge \(A\), aber nicht in der Menge \(B\) enthalten sind. Sprechweise: \(A\) ohne \(B\) Beispiel: \(\enspace \mathbb{R}\setminus{\{1\}}\), d.h. alle reellen Zahlen ohne die Zahl \(1\) | |
\(\in\) | Element-Zeichen \(\in \) einer Menge Beispiel: \(\enspace 4\in \mathbb{N}\), d.h. \(4\) ist ein Element der Menge \(\mathbb{N}\) | |
\(\notin\) | Kein-Element-Zeichen \(\notin\) einer Menge Beispiel: \(\enspace -4\notin \mathbb{N}\), d.h. \(-4\) ist kein Element der Menge \(\mathbb{N}\) | |
\(\alpha, \beta, \gamma,\ldots\) \(A, B, \Gamma,\ldots\) | Alpha, Beta, Gamma, ... (griechische Buchstaben) Beispiel: \(\enspace\sum\limits_{i\ =\ m}^{n}a_i\), d.h. der große griechische Buchstaben Sigma \(\Sigma\) wird für das Summenzeichen verwendet | |
\(a^b\) | Potenz \(a^b\) Sprechweise: \(a\) hoch \(b\), \(a\) zur \(b\)-ten Potenz Beispiel: \(\enspace2^4\), d.h. \(2\) hoch \(4\) | |
\(\sqrt{\quad}\) | Radizieren, Wurzelziehen Beispiel: \(\enspace\sqrt{4}=2\) | |
\(\sqrt[b]a\) | Wurzel \(\sqrt[b]{a}\) Sprechweise: \(b\)-te Wurzel aus \(a\) Beispiel: \(\enspace\sqrt[3]{8}\), d.h. dritte Wurzel aus \(8\) | |
\(\vert a \vert\) | Betrag (auch Absolutbetrag) der Zahl \(a\) Beispiel: \(\enspace \vert {-5} \vert=5\) | |
\(\vert A \vert\) | Mächtigkeit oder Kardinalität der endlichen Menge \(A\) Beispiel: \(\enspace \vert A \vert = 3\enspace\) mit \(\enspace A=\{4,5,6\}\) | |
\(A \sim B\) | gleichmächtige Mengen Beispiel: \(\enspace \{a,b,c\} \sim \{1,2,3\}\), da \(|\{a,b,c\}|=3=|\{1,2,3\}|\) | |
\(A \times B\) | kartesisches Produkt \(A \times B\) Menge aller geordneter Paare der Mengen \(A\) und \(B\) Sprechweise: \(A\) kreuz \(B\) Beispiel: \(\enspace \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 = \{(x|y)\, | \,x,y\in \mathbb{R}\}\) | |
\((a,b)\) | geordnetes Paar, Tupel Beispiel: \(\enspace (a,1)\) ist ein geordnetes Paar mit \(a\in \{a,b\}\) und \(1 \in \{1,2,3\}\) | |
\((x|y)\) | geordnetes Paar im \(\mathbb{R}^2\), kartesische Koordinaten Beispiel: \(\enspace(0|0)\) ist der Nullpunkt im \(\mathbb{R}^2\) | |
\(\pi\) | Kreiszahl \(\pi\) \(\pi = 3.14159265358\ldots\) | |
\(n!\) | Fakultät \(n!\) Produkt der Zahlen \(1,2, \ldots , n\) Sprechweise: \(n\) Fakultät Beispiel: \(\enspace 4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24\) | |
\(e\) | Eulersche Zahl \(e\) \(e = 2.71828182845\ldots\) | |
\(\bar{a}_{\textsf{arith}} \) | arithmetisches Mittel \(\bar{a}_{\textsf{arith}} := \dfrac{a_1 + \ldots + a_n}{n}\) Beispiel: \(\enspace \bar{a}_{\textsf{arith}} = \dfrac{1+2+3+4}{4}=2.5\), d.h. das arithmetische Mittel der Zahlen \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) beträgt \(2.5\) | |
\(\bar{a}_{\textsf{harm}} \) | harmonisches Mittel \(\bar{a}_{\textsf{harm}} := \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\ldots + \dfrac{1}{a_n}}\) Beispiel: \(\enspace \bar{a}_{\textsf{harm}} = \dfrac{4}{\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}}=1.92\), d.h. das harmonische Mittel der Zahlen \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) beträgt \(1.92\) | |
\(\bar{a}_{\textsf{geom}} \) | geometrisches Mittel \(\bar{a}_{\textsf{geom}} := \sqrt[n]{\mathstrut a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}\quad\) Beispiel: \(\enspace \bar{a}_{\textsf{geom}} = \sqrt[4]{\mathstrut 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}\approx 2.21\), d.h. das geometrische Mittel der Zahlen \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) beträgt ungefähr \(2.21\) | |
\(\implies\) | Folgerung, Implikation, Wenn-dann-Verknüpfung Beispiel: \(\enspace(a=5) \implies (a^2 = 25)\) Wenn \(a=5\), dann ist \(a^2=25\). | |
\(\iff\) | Äquivalenz, Genau-dann-wenn-Verknüpfung Beispiel: \(\enspace(a=5\) oder \(a=-5) \iff (a^2 = 25)\) Genau dann, wenn \(a=5\) oder \(a=-5\), dann ist \(a^2=25\). | |
\(\mathrm{°}\) | Grad Beispiel: \(\enspace 100 \mathrm{°C}\), d.h. \(100\) Grad Celsius | |
\(\sum\limits_{i\ =\ m}^{n}a_i\) | Summenzeichen \(\sum\limits_{i\ =\ m}^{n}a_i\) mit Laufvariable \(i\), Startwert \(m\), Endwert \(n\) und Summenterm \(a_i\) Beispiel: \(\enspace \sum\limits_{i\ =\ 1}^{3}i=1+2+3=6\) | |
\(\prod\limits_{i\ =\ m}^{n}a_i\) | Produktzeichen \(\prod\limits_{i\ =\ m}^{n}a_i\) mit Laufvariable \(i\), Startwert \(m\), Endwert \(n\) und Produktterm \(a_i\) Beispiel: \(\enspace \prod\limits_{i\ =\ 1}^{3}i=1 \cdot 2 \cdot 3=6\) | |
\(\forall\) | All-Quantor abkürzende Schreibweise für alle betrachteten Objekte Sprechweise für \(\forall \ x\): "für alle \(x\) gilt", "für jedes \(x\) gilt", "für beliebige \(x\) gilt" | |
\(\exists\) | Existenz-Quantor abkürzende Schreibweise für (mindestens) ein Objekt unten allen betrachteten Objekten Sprechweise für \(\exists \ x\): "es gibt (mindetens) ein \(x\), so dass gilt", "es existiert (mindestens) ein \(x\), so dass gilt" | |
\(\lnot\) | Negation Umkehren des Wahrheitswertes der Aussage Sprechweise für \(\lnot A\): nicht \(A\) | |
\(\land\) | Konjunktion, Und-Verknüpfung Die komplexe Aussage \(A \land B\) ist wahr, wenn gleichzeitig die Aussage \(A\) und die Aussage \(B\) wahr sind, ansonsten ist \(A \land B\) falsch. Sprechweise für \(A \land B\): \(A\) und \(B\) | |
\(\lor\) | Disjunktion, Oder-Verknüpfung Die komplexe Aussage \(A \lor B\) ist wahr, wenn entweder die Aussage \(A\) oder die Aussage \(B\) oder beide wahr sind. Sprechweise für \(A \lor B\): \(A\) oder \(B\) | |
\(\mid\) | Teiler Beispiel: \(\enspace 3 \mid 6\), d.h. \(3\) ist ein Teiler von \(6\) | |
\(\blacksquare, \Box,\) q.e.d. | Beweis-Ende-Zeichen Beweise werden mit einem der Halmos-Zeichen \(\blacksquare\) oder \(\Box\) abgeschlossen oder durch die Angabe "q.e.d." (latein "quod erat demonstrandum", "was zu beweisen war"). |