Einleitung in das Themengebiet
Bei linearen und quadratischen Gleichungen war die Anzahl der Koeffizienten überschaubar. Betrachtet man Gleichungen höheren Grades, so steigt die Anzahl der Koeffizienten. Man weicht deshalb von der Kennzeichnung der Koeffizienten durch unterschiedliche Buchstaben \(a\), \(b\), ... ab und bezeichnet sie mit einem einzigen indizierten Buchstaben \(a_i\) oder \(b_i\), ...
Algebraische Gleichungen können eigene Namen haben. Ab Grad \(6\), und auch teilweise bereits bei niedrigerem Grad, vergibt man keine eigenen Namen mehr, sondern kennzeichnet die Gleichungen durch ihren Grad.
Grad | Bezeichnung mit Namen | Bezeichnung mit Grad | Gleichung |
1 | lineare Gleichung | Gleichung 1. Grades | \(ax+b=0\) |
2 | quadratische Gleichung | Gleichung 2. Grades | \(ax^2+bx+c\) \(=0\) |
3 | kubische Gleichung | Gleichung 3. Grades | \(ax^3+bx^2\) \(+\,cx+d\) \(=0\) |
4 | quartische Gleichung | Gleichung 4. Grades | \(a_4x^4+a_3x^3\) \(+\,a_2x^2+a_1x+a_0\) \(=0\) |
5 | quintische Gleichung | Gleichung 5. Grades | \(a_5x^5+a_4x^4\) \(+\,a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) \(=0\) |
6 | Gleichung 6. Grades | \(a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4\) \(+\,a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) \(=0\) |
Bei linearen und quadratischen Gleichungen konnte man durch einfache Termumformungen oder durch Anwendung von Lösungsformeln, wie der pq-Formel oder der abc-Formel, zu den Lösungen der Gleichung kommen. Für Gleichungen 3. und 4. Grades gibt es ebenfalls Lösungsformeln. Diese Lösungsformeln sind jedoch kompliziert und werden selten angewandt. Man bezeichnet die Lösungsformeln für Gleichungen 3. Grades als Cardanische Formeln, benannt nach dem italienischen Arzt und Mathematiker Gerolamo Cardano (1501 - 1576). Er veröffentlichte diese Formeln 1545 zusammen mit Lösungsformeln für algebraische Gleichungen 4. Grades. Für Gleichungen 5. Grades existieren keine allgemeinen Lösungsformeln. Dies wurde 1799 lückenhaft durch den italienischen Mathematiker, Mediziner und Philosophen Paolo Ruffini (1765 - 1822) bewiesen. 1824 gelang dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802 - 1829) ein vollständiger Beweis. Auch für Gleichungen 6. Grades und höher gibt es keine allgemeine Lösungsformel. Dies wurde von Abel und auf seinen Werken aufbauend von dem französischen Mathematiker Évariste Galois (1811 - 1832) bewiesen.
In diesem Lernmodul beschäftigen wir uns mit der Lösung von Gleichungen höheren Grades. Je nachdem, welche Koeffizienten vorhanden sind, kann man die Gleichungen, zumindest in Spezialfällen, durch Radizieren, Ausklammern von \(x\) und Anwendung des Satzes vom Nullprodukt oder durch Substitution lösen.
Sind alle Lösungen der Gleichung bekannt, so erhält man durch wiederholte Polynomdivision eine Linearfaktorzerlegung der Gleichung.
Außer den algebraischen Gleichungen höherer Ordnung beschäftigen wir uns in diesem Lernmodul mit Bruchgleichungen. Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm. Wir beschränken uns in diesem Lernmodul auf Bruchgleichungen, deren Zähler und Nenner jeweils aus algebraischen Gleichungen bestehen.
Bevor man sich an die Lösung einer Bruchgleichung macht, muss man die Definitionsmenge bestimmen. Die Nullstellen aller Nenner müssen aus dem Definitionsbereich herausgenommen werden. Als Lösungen kommen nur Werte in Betracht, die auch in der Definitionsmenge liegen.
Nach Durcharbeiten dieses Lernmoduls können Sie:
- algebraische Gleichungen höheren Grades durch Radizieren lösen,
- den Satz vom Nullprodukt auf algebraische Gleichungen anwenden,
- die Polynomdivision zur Faktorzerlegung algebraischer Gleichungen benutzen,
- die Definitionsmenge von Bruchgleichungen bestimmen,
- Bruchgleichungen lösen,
- algebraische Gleichungen und Bruchgleichungen durch Substitution lösen.
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