Lernmodul: Algebraische Gleichungen
Lösen durch Anwenden des Satzes vom Nullprodukt Lösen mit der quadratischen Ergänzung bei Hauptkoeffizient = 1
Wir betrachten nun quadratische Gleichungen der folgenden Form: \(\qquad\) \( x^2+px+q=0\)
Sind in der quadratischen Gleichung sowohl das konstante Glied als auch der lineare Term vorhanden, dann muss man die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung lösen. Das quadratische und das lineare Glied der Gleichung werden hierbei so durch das Hinzufügen eines weiteren quadratischen Terms ergänzt, dass aus diesen drei Termen die 1. oder 2. binomische Formel gebildet werden kann.
Die quadratische Gleichung
\(\qquad x^2+px+q=0\)
wird umgeformt, indem das konstante Glied \(\enspace q \enspace\) auf die rechte Seite gebracht wird
\(\qquad x^2+px=-q\)
und beide Seiten durch das Quadrat der Hälfte von \( \enspace p \enspace\) ergänzt werden
\(\qquad x^2 + px + \left(\dfrac{p}{2}\right)^2= \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\)
Die linke Seite lässt sich jetzt nach der 1. binomischen Formel umschreiben zu
\(\qquad \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2= \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\)
Falls \(\enspace \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\enspace\) größer oder gleich Null ist, dann können wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen und erhalten
\(\qquad x+\dfrac{p}{2}=\pm \sqrt{ \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\)
Die Subtraktion von \( \enspace \dfrac{p}{2} \enspace\) führt zu den Lösungen
\(\qquad x_{1,2}=-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ \left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\)
Lösen mit der quadratischen Ergänzung - Beispiel
Beispiel:
Wir möchten die folgende Gleichung mit quadratischer Ergänzung lösen und suchen die Lösungsmenge:
\(\qquad x^2+2x-24=0\)
Lösung:
\(\mathbb{L}=\{-6;4\}\)
Erläuterung:
\(x^2+2x-24=0\) | \(\quad|\) | \(+24\) |
\(x^2+2x=24\) | \(\quad|\) | \(+1\quad\) quadratisch ergänzen |
\(x^2+2x+1=1+24\) | \(\quad|\) | umformen der linken Seite zu einer binomischen Formel |
\(\left(x+1\right)^2=25\) | \(\quad|\) | \(\sqrt{\mathstrut \quad}\) |
\(x+1=\pm\sqrt{25}=\pm5\) | \(\quad|\) | \(-1\) |
\(x_{1,2}=-1\pm 5\) | ||
\(x_1=-1-5=-6\) | ||
\(x_2=-1+5=4\) | ||
\(\mathbb{L}=\{-6;4\}\) |
Lösen mit der quadratischen Ergänzung - Frage
Erklärung <strong>Lösung:</strong> \(r = -3.5, \quad s = 2.25, \quad x_1 = 2, \quad x_2 = 5\) <strong>Erläuterung:</strong> \(x^2-7x+10 = 0\) \(x^2 - 7x+\left(\dfrac{7}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{7}{2}\right)^2+10=0\) \(\left(x - \dfrac{7}{2}\right)^2 - \dfrac{49}{4} +10 = 0\) \(\left(x - \dfrac{7}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} = 0\) \(\left(x - \dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\) Es folgt: \(r = -3.5, \quad s = 2.25\) Wurzelziehen liefert: \(x - \dfrac{7}{2} = \pm \dfrac{3}{2}\) \(x = \dfrac{7}{2} \pm \dfrac{3}{2}\) \(x_1 = 2, \quad x_2 = 5\) |  |
\(\enspace\)