Polstelle

Definition:

Unter einem Pol oder einer Polstelle einer reellen Funktion \(f\) verstehen wir eine Stelle \(x_0\in\mathbb{R}\) mit folgenden Eigenschaften:

\(\tiny\blacksquare\enspace\)

Der rechtsseitige Grenzwert von \(f\) für \(x\) gegen \(x_0\) ist \(+\infty\) oder \(-\infty\).

Das heißt:

\(\qquad\lim_\limits{\substack{x\to x_0 \\ x\gt x_0}}f(x) \, = \, +\infty \quad\) oder \(\quad \lim_\limits{\substack{x\to x_0 \\ x\gt x_0}}f(x) \, = \, -\infty \)

\(\tiny\blacksquare\enspace\)

Der linksseitige Grenzwert von \(f\) für \(x\) gegen \(x_0\) ist \(+\infty\) oder \(-\infty\).

Das heißt:

\(\qquad\lim_\limits{\substack{x\to x_0 \\ x\lt x_0}}f(x) \, = \, +\infty \quad\) oder \(\quad\lim_\limits{\substack{x\to x_0 \\ x\lt x_0}}f(x) \, = \, -\infty \)

Beispiele:

  • Die Funktion \( \, f(x)\, = \, \dfrac{1}{\, x-1 \, } \, \) hat eine Polstelle in \(\, x_0 =1\).
  • Die Funktion \( \, g(x)\, = \, \dfrac{1}{\, x^2 \, } \, \) hat eine Polstelle in \(\, x_0 =0\).