Definition:
Die quadratische Gleichung
\(\qquad ax^2+bx+c=0\quad\) mit \(\quad a\ne 0\)
lässt sich mit der \(abc\)-Formel lösen:
\(\qquad x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad \) mit \(\quad b^2-4ac\ge 0\)
Ist \(b^2-4ac<0\), so hat die Gleichung keine Lösung.
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung
\(\qquad \frac{1}{2}x^2 + x-4 = 0 \)
Das bedeutet:
\(\qquad a=\frac{1}{2},\quad b=1,\quad c=-4 \)
Mit Hilfe der \(abc\)-Formel gelangen wir zu den folgenden Lösungen:
\(\qquad x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot\frac{1}{2}\cdot(-4)}}{2\cdot\frac{1}{2}} \)
\(\qquad x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{1} \)
\(\qquad x_{1,2} = -1 \pm 3 \)
Die Lösungen lauten: \(\quad x_1 = 2, \quad x_2 = -4 \)