Lernmodul: Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis
Es gibt Potenzgesetze für die Multiplikation, die Division und das Potenzieren von Potenzen, wobei unterschieden wird, ob die Potenzen die gleiche Basis haben oder den gleichen Exponenten.
Multipliziert bzw. dividiert man Potenzen mit gleicher Basis dann lassen sich die einzelnen Potenzen wieder als Produkte schreiben, die dann zusammengefasst werden.
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis addiert man die Exponenten und behält die Basis bei.
Beispiel:
\(\begin {array} {} a^4 \cdot a^2 & = & \underbrace{(a \cdot a \cdot a \cdot a)}_{{\large{4 \textsf{ Faktoren}}}} \enspace \cdot \underbrace{(a \cdot a)}_{{\large{2 \textsf{ Faktoren}}}} \\ \\ & = & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\large{2+4 \textsf{ Faktoren}}}}\ =\ \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\large{6 \textsf{ Faktoren}}}} \ = \ a^6 \end {array}\)
Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis subtrahiert man die Exponenten und behält die Basis bei.
Beispiel:
\(\begin {array} {}\dfrac{a^5 }{a^2} & = &\dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}^{{\large{5 \textsf{ Faktoren}}}}}{\underbrace{a \cdot a}_{{\large{2 \textsf{ Faktoren}}}}} \\ \\ & = & \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{{\large{5-2 \textsf{ Faktoren}}}}=\underbrace{a \cdot a \cdot a}_{{\large{3 \textsf{ Faktoren}}}} \ = \ a^3 \end {array} \)
Durch die Division von Potenzen mit gleicher Basis kann man zu Potenzen mit nicht-positiven Exponenten kommen.
Definition:
Es gilt für \(a\ne0\):\(\qquad a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)
\(\dfrac{1}{a^n}=\dfrac{a^0}{a^n}=a^{0-n}=a^{-n}\)
Potenzgesetze für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis:
Für \(a\in \mathbb{R}\) mit \(a \ne 0 \) und \(m,n \in \mathbb{Z}\) gilt:
\(a^m \cdot a^n\) | \(\quad = \quad\) | \(a^{m+n}\) |
\(\dfrac{a^m}{a^n}\) | \(\quad = \quad\) | \(a^{m-n}\) |
Beispiele:
\(\begin {array} {} x^{3n}\cdot x^{2n} & = & x^{3n+2n}=x^{5n} \\ \\ a^{2n-1}\cdot a^{n+2} & = & a^{(2n-1)+(n+2)}=a^{3n+1} \\ \\ \dfrac{y^{n+7}}{y^{5}} & = & y^{(n+7)-5}=y^{n+2} \\ \\ \dfrac{b^{m+1}}{b^{2m-2}} & = & b^{(m+1)-(2m-2)}=b^{m+1-2m+2}=b^{-m+3} \\ \\ x^{5} \cdot y^{3} \cdot x^{2} \cdot y & = & x^{5+2} \cdot y^{3+1}=x^7 \cdot y^4\end {array}\)
Erklärung <strong>Lösung:</strong>
<strong>Erläuterung:</strong>
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