Potenzgesetze für das Potenzieren von Potenzen

Das Potenzieren von Potenzen lässt sich auf die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis zurückführen. Potenzen werden potenziert, indem man ihre Exponenten multipliziert.

Beispiel:

\(\begin {array} {} \left(a^2\right)^3 & = & a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 \\ \\ & = & \underbrace{(a \cdot a)}_{{\large{2 \textsf{ Faktoren}}}} \cdot \underbrace{(a \cdot a)}_{{\large{2 \textsf{ Faktoren}}}} \cdot \underbrace{(a \cdot a)}_{{\large{2 \textsf{ Faktoren}}}} \\ \\ & = &  \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\large{3 \cdot 2 \textsf{ Faktoren}}}}\ =\ \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\large{6 \textsf{ Faktoren}}}} \\ \\ & = & a^6 \end {array}\)

Potenzgesetze für das Potenzieren von Potenzen:

Für \(a\in \mathbb{R}\) mit \(a \ne 0 \) und \(m,n \in \mathbb{Z}\) gilt:

\(\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}=\left(a^n\right)^m\)

Beispiele:

\(\begin{array} {} \left(a^m\right)^{m-1} & = & a^{m(m-1)}=a^{m^2-m} \\ \\  \left(a^5 \cdot b^3\right)^3 & = & a^{5\cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3}=a^{15} \cdot b^{9}\end {array}\)

\(\enspace\)