Sie müssen zur Berechnung der Terme \(A\) bis \(F\) die Werte für \(x\) und \(y\) nicht explizit berechnen. Formen Sie die Terme geeignet um, so dass Sie \(x+y\) bzw. \(x\cdot y\) verwenden können oder die bereits berechneten Werte für \(A\), \(B\), ...

Zur Berechnung von \(A\) bspw. zerlegen Sie \(xy^2+x^2y\) in Faktoren. Klammern Sie hierzu \(x\) und \(y\) aus.

Lösung:

Erläuterung:

Lösung durch Anwendung der Verallgemeinerung der binomischen Formeln:

\(\begin {array} {llcll}A & =xy^2+x^2y & = &xy(x+y)&=2 \cdot 7&&= 14 \\ B &=x^2+y^2&=&(x+y)^2-2xy&=7^2-2\cdot 2& &= 45 \\ C & =x^2y^4+x^4y^2 &=&x^2y^2(x^2+y^2)&=(xy)^2\cdot B &=2^2 \cdot 45&= 180 \\ D &=x^3+y^3&\overset{\text{Verallg.}}{\underset{\text{}}{=}}&(x+y)(x^2-xy+y^2)&=(x+y)(B-xy)&=7 \cdot(45-2)&= 301 \\ E&= x^3y^6+x^6y^3&=&x^3y^3(x^3+y^3)&=(xy)^3 \cdot D &=2^3\cdot 301& =2408 \\ F &=x^4+y^4& =&(x^2+y^2)^2-2x^2y^2 & = B^2-2(xy)^2&=45^2-2\cdot 2^2&= 2017\end {array}\)