Lernmodul: Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Aufgabe 4
 Der weltweite \(\mathrm{CO_2}\)-Ausstoß belief sich im Jahr 2011 auf ca. 34 Mrd. Tonnen. Gegenwärtig steigt er pro Jahr um etwa \(2.5\, \%\). Angenommen es gelingt, den \(\mathrm{CO_2}\)-Ausstoß pro Jahr um \(1\ \%\) zu verringern. Um wie viel höher wäre dann in 100 Jahren der jährliche \(\mathrm{CO_2}\)-Ausstoß in der Variante 1 (jährliche Zunahme um \(2.5\, \%\)) als in Variante 2 (jährliche Abnahme um \(1\, \%\))? Erklärung Lösung: In 100 Jahren wäre der jährliche \(\mathrm{CO_2}\)-Ausstoß in der Variante 1 um ca. \(3 \ 227.5 \, \%\) höher als in Variante 2. Erläuterung: Bezeichnen wir mit \(M_0\) den aktuellen Jahresausstoß, so entwickelt sich bei Variante 1 der \(\mathrm{CO_2}\)-Ausstoß wie folgt:
Der \(\mathrm{CO_2}\)-Ausstoß entwickelt sich bei Variante 1 also nach der Formel \(\qquad M_t = 1.025^t \cdot M_0 \) (wobei \(t\) die Zeit in Jahren ist). Bei Variante 2 entwickelt sich der \(\mathrm{CO_2}\)-Ausstoß wie folgt:
Der \(\mathrm{CO_2}\)-Ausstoß entspricht bei Variante 2 demnach der Formel \(\qquad \widetilde{M}_t = 0.99^t \cdot M_0 \) Nach 100 Jahren ergibt sich das Verhältnis \(\qquad\dfrac {M_{100}}{\widetilde{M}_{100}} = \dfrac {1.025^{100}\cdot M_0}{0.99^{100}\cdot M_0} =\left( \dfrac {1.025}{0.99}\right)^{100} \approx 32.275\) Also ist \(M_{100}\) um ca. \(3\ 227.5 \, \%\) höher als \(\widetilde{M}_{100}\). |  |
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