Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Definition einer linearen Funktion
Ganz allgemein erhält man immer als Schaubild eine Gerade, wenn die Funktionsvorschrift durch \(y = ax + b\) mit Konstanten \(a\) und \(b\) gegeben ist. Diese Funktionen nennen wir lineare Funktionen.
Definition:
Eine Funktion der Form
\(\qquad \begin{array} {r c l c l } f & : & \mathbb R & \longrightarrow & \mathbb R \\ & & x & \longmapsto & ax+b \end{array}\)
oder \(\qquad f(x) = ax+b\qquad\)
mit Konstanten \(a,b\in \mathbb{R}, a\ne 0\) nennen wir eine lineare Funktion.
Der Wert \(a\) ist dabei die Steigung der Geraden und \(b\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt, d.h. die Verschiebung der Geraden vom Ursprung aus entlang der \(y\)-Achse.
Beispielsweise hat die Funktion \(f(x) = 2x\) eine Steigung von \(2\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(0\), d.h. die Funktion geht durch den Ursprung. Die Funktion \(g(x) = -2x+4\) hat eine Steigung von \(-2\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(4\). Die Funktion \(h(x) = \dfrac{1}{2}x+1\) hat eine Steigung von \(\dfrac{1}{2}\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(1\).
Betrachten wir die Gerade \(f(x)=ax+b\) und wählen zwei unterschiedliche Punkte auf der Geraden \(P({x_1}\,|\,{f(x_1)})\) und \(Q({x_2}\,|\,{f(x_2)})\).
Die Steigung \(a\) der Geraden ergibt sich durch
\(\qquad a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)
Setzen wir \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir \(f(0) = b\), und damit den Wert, wie weit die Gerade vom Ursprung aus in \(y\)-Richtung verschoben ist.
Auf diese Art und Weise erhalten wir alle Geraden, die nicht parallel zur \(y\)-Achse sind.
Im Fall \(a = 0\) haben wir eine konstante Funktion und somit eine Parallele zur \(y\)-Achse.
\(\enspace\)