Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
2-Punkte-Form
Eine lineare Funktion kann durch eine Gerade, die durch zwei Punkte geht, festgelegt werden.
Geben wir den Punkt \(({x_0}\,|\,{y_0})\) sowie \(({x_1}\,|\,{y_1})\) vor, so gibt es genau eine lineare Funktion \(f\) mit \(f(x_0) = y_0\) und \(f(x_1) = y_1\), nämlich
\(\qquad f(x) = \dfrac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \cdot (x-x_0) + y_0 = a \cdot x + b\)
wobei
\(\qquad a = \dfrac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\qquad \) und
\(\qquad b = y_0 - \dfrac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \cdot x_0\)
Merke:
Die lineare Funktion durch die Punkte \(({x_0}\,|\,{y_0})\) und \(({x_1}\,|\,{y_1})\) mit \(x_0\ne x_1\) kann auch durch die 2-Punkte-Form
\(\qquad \dfrac {y - y_0}{x - x_0}=\dfrac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \)
bzw.
\(\qquad y=\dfrac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\cdot (x - x_0)+y_0 \)
beschrieben werden.
Beispiel:
Wir suchen die lineare Funktion durch die beiden Punkte \(P({-1}\,|\,{1})\) und \(Q({2}\,|\,{7})\).
\(\qquad f(x)\phantom{\dfrac{A}{B}}\) | \(= \dfrac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \cdot (x-x_0) + y_0\) |
\(\qquad f(x) \phantom{\dfrac{A}{B}}\) | \(= \dfrac {7 - 1}{2 - (-1)} \cdot (x-(-1)) + 1\) \(= \dfrac {6}{3} \cdot (x+1) + 1 \) \(= 2\cdot (x+1) + 1 \) \(= 2x+3\) |
Die lineare Funktion lautet:\(\quad f(x)=2x+3\)
Erklärung Lösung: \(a = -1\) Schaubild von \(f\)  Erläuterung: Die Steigung einer linearen Funktion durch zwei Punkte \(({x_0}\,|\,{y_0})\) und \(({x_1}\,|\,{y_1})\) ist gegeben durch: \(\qquad a = \dfrac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\) Das ergibt: \(\qquad a = \dfrac {2-4}{4-2} = -1\) |  |
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