Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Punkt-Steigungsform
Mithilfe der Punkt-Steigungsform wird eine Gerade durch einen Punkt mit gegebener Steigung festgelegt.
Geben wir den Punkt \(({x_0}\,|\,{y_0})\) und eine Steigung \(a\) vor, so gibt es genau eine lineare Funktion \(f\) mit \(f(x_0) = y_0\), die die Steigung \(a\) hat, nämlich
\(\qquad f(x) = a (x- x_0) + y_0 = ax - ax_0 + y_0 = ax + b\)
wobei
\(\qquad b = y_0 - ax_0\)
Merke:
Die lineare Funktion mit Steigung \(a\in \mathbb{R},a\ne 0\) durch den Punkt \(({x_0}\,|\,{y_0})\) kann auch durch die Punkt-Steigungsform
\(\qquad y-y_0=a(x-x_0)\)
bzw.
\(\qquad y=a(x-x_0)+y_0\)
beschrieben werden.
Beispiel:
Eine Gerade mit Steigung \(-\dfrac{1}{2}\) geht durch den Punkt \(P({2}\,|\,{-3})\).
Die lineare Funktion lässt sich mit der Punkt-Steigungsform berechnen:
\(\qquad f(x)\phantom{\dfrac{A}{B}}\) | \(= a(x-x_0)+y_0 \phantom{\dfrac{A}{B}}\) |
\(\qquad f(x) \phantom{\dfrac{A}{B}}\) | \(=-\dfrac{1}{2}(x-2)-3\phantom{\dfrac{A}{B}}\) \(=-\dfrac{1}{2}x+1-3\) \(= -\dfrac{1}{2}x+1-3\) \(= -\dfrac{1}{2}x-2\) |
Die lineare Funktion lautet: \(\quad y=-\dfrac{1}{2}x-2\)
Erklärung Lösung: \(f(x)=\dfrac{3}{2}x+4\) Schaubild von \(f\)  Erläuterung: Die Punkt-Steigungsform lautet: \(\qquad \begin {array} {} f(x)& =a (x-x_0)+y_0\end {array}\) wobei \(a\) die Steigung ist und \(P({x_0}\,|\,{y_0})\) ein Punkt auf der Geraden. Die Steigung der gesuchten Geraden lautet \(a=\dfrac{3}{2}\). Gegeben sind außerdem \(x_0=-1\) und \(y_0 = \dfrac{5}{2}\). Durch Einsetzen und Umformen erhalten wir die Funktionsvorschrift:
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\(\enspace\)