Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Definition einer quadratischen Funktion
Wir haben bereits die Funktion kennengelernt, die jedem \(x\) sein Quadrat zuordnet, also
\(\qquad \begin{array} {r c l c l } f & : & \mathbb R & \longrightarrow & \mathbb R \\ & & x & \longmapsto & x^2 \end{array}\)
und gesehen, dass wir als Bild dieser Funktion eine Parabel erhalten. Auch diese Parabel können wir verschieben, und zwar sowohl entlang der \(x\)- als auch der \(y\)-Achse.
Darüber hinaus können wir die Öffnung der Parabel weiter oder schmaler machen oder diese auch umkippen und eine nach unten geöffnete Parabel betrachten. Alle diese Parabeln werden beschrieben durch Funktionen der Form \(y=ax^2+bx+c\).
Die Schaubilder einiger quadratischer Funktionen kann man der folgenden Grafik entnehmen.
Definition:
Eine Funktion der Form
\(\qquad \begin{array} {r c l c l } f & : & \mathbb R & \longrightarrow & \mathbb R \\ & & x & \longmapsto & ax^2+bx+c \end{array}\)
oder \(\qquad f(x) = ax^2 + bx + c\)
mit Konstanten \(a,b,c\in \mathbb{R}, a\ne 0\) nennen wir eine quadratische Funktion.
Merke:
Die Darstellung
\(\qquad f(x)=ax^2+bx+c\)
nennen wir die Normalform der quadratischen Funktion.
\(\enspace\)