Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Quadratische Ergänzung
Schwerer zu interpretieren sind die Werte \(b\) und \(c\).
In der folgenden Animation können die Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) anhand der Schieberegler jeweils zwischen \(-5\) und \(+5\) variiert werden. Es wird das Schaubild der Funktion \(f\) in der Farbe orange angezeigt. Werden die entsprechenden Kontrollkästchen angeklickt, dann können zusätzlich die Schaubilder des quadratischen Terms \(a\cdot x^2\) in grüner Farbe, des linearen Terms \(b\cdot x\) in blauer Farbe und des konstanten Terms \(c \) in brauner Farbe angezeigt werden.
Voreingestellt sind die Werte \(a=1\), \(b=-2\) und \(c=1\). Das Schaubild der Funktion \(f\) ist also eine Normalparabel, die um \(1\) entlang der \(x\)-Achse nach rechts verschoben wurde.
Betrachten Sie die Veränderungen in der Animation, wenn Sie die Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) mit den Reglern verändern:
Wie man aus der Animation sieht, hat jede Parabel, die nach oben geöffnet ist, einen tiefsten Punkt. Und jede Parabel, die nach unten geöffnet ist, hat einen höchsten Punkt. Diesen Punkt nennt man Scheitelpunkt.
Eine Parabel lässt sich nicht nur durch die Konstanten \(a,b\) und \(c\) festlegen, sondern auch durch \(a\) und ihren Scheitelpunkt \(({x_S}\,|\,{y_S})\). Hierzu formen wir die Normalform der Parabel mithilfe der quadratischen Ergänzung um:
\( \begin{array} {l c l} a x^2 + bx + c & = & a \cdot \left( x^2 + \dfrac {b}{a} x + \dfrac {c}{a} \right) \\ & = & a \cdot \left( x^2 + \dfrac {b}{a} x + \left(\dfrac {b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac {b}{2a}\right)^2 + \dfrac {c}{a} \right) \\ & = & a \cdot \left( x^2 + \dfrac {b}{a} x + \dfrac {b^2}{4a^2} + \dfrac {c}{a} - \dfrac {b^2}{4a^2} \right) \\ & = & a \cdot \left( \left( x + \dfrac {b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a^2} \right) \\ & = & a \cdot \left( x + \dfrac {b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a} \end{array}\)
Die Normalform einer quadratischen Funktion lässt sich also in die folgende Form bringen:
\(\qquad f(x)=a \left(x-x_S\right)^2 + y_S \)
Der Punkt \((x_S\,|\,y_S)\) ist für \(a>0\) der tiefste Punkt der Parabel und für \(a<0\) der höchste Punkt der Parabel und wird Scheitelpunkt genannt.
Betrachten wir einen \(x\)-Wert \(x_0\) rechts oder links des \(x\)-Wertes \(x_S\) des Scheitelpunkts, so ist der quadratische Term \(\left(x_0-x_S\right)^2\) größer als \(\left(x_S-x_S\right)^2=0\).
Ist \(a>0\), so wird der Funktionswert \(f(x_0)\) also einen größeren Wert annehmen als der Funktionswert \(f(x_S)=y_S\), denn
\(\qquad f(x_0)=a(x_0-x_S)^2+y_S > y_S\qquad \)
Ist \(a<0\), so wird der Funktionswert \(f(x_0)\) also einen kleineren Wert annehmen als der Funktionswert \(f(x_S)=y_S\), denn
\(\qquad f(x_0)=a(x_0-x_S)^2+y_S < y_S\qquad \)
Der Punkt \((x_S\,|\,y_S)\) ist also für \(a>0\) der tiefste Punkt und für \(a<0\) der höchste Punkt der Parabel.
\(\enspace\)