Faktorzerlegung

Betrachten Sie die Veränderungen in der Animation, wenn Sie die Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) an den Reglern verändern:

Wie man aus der Animation sieht, kann eine Parabel keinen, einen oder zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse haben.

Eine Parabel lässt sich nicht nur durch die Konstanten \(a,b\) und \(c\) festlegen, sondern auch durch \(a\) und ihre Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\). Hierzu wenden wir die Faktorzerlegung an oder greifen auf den Satz von Vieta zurück. Beides wurde ausführlich im Kurs "Gleichungen und Ungleichungen" beschrieben. Die quadratische Funktion lässt sich hierdurch als Produkt schreiben:

\(\qquad ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Setzen wir eine der Nullstellen als \(x\)-Wert ein, so erhalten wir den \(y\)-Wert \(0\). An den Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) liegen also genau die Schnittpunkte \(N_1(x_1 \,|\, 0)\) und \(N_2(x_2\,|\,0)\) mit der \(x\)-Achse.

\(\qquad f(x_1)=a (x_1-x_1)(x_1-x_2)=0\)

\(\qquad f(x_2)=a (x_2-x_1)(x_2-x_2)=0\)

\(\enspace\)