Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Beispiele
Beispiel:
Wir haben eine quadratische Funktion in Normalform gegeben
\(\qquad f(x) = x^2+x-2\)
und wollen die Faktorform und die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse berechnen.
Hierzu suchen wir mit der \(pq\)-Formel die Nullstellen der Funktion:
\(\qquad x^2+x-2=0\)
\(\qquad x_{1,2} \ \) | \(= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+2}\) |
\(= -\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}\) | |
\(\qquad x_1\) | \(= -\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2 \) |
\(\qquad x_2\) | \(=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} =1\) |
Die Faktorform lautet:
\(\qquad f(x)=(x+2)(x-1)\)
Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse lauten:
\(\qquad N_1({-2}\,|\,{0})\quad\) und \(\quad N_2({1}\,|\,{0})\)
Beispiel:
Wir haben eine quadratische Funktion in Normalform gegeben
\(\qquad g(x) = -2x^2+4x-2\)
und wollen die Faktorform berechnen.
Hierzu suchen wir die Nullstellen der Funktion:
\(\qquad -2x^2+4x-2=0\)
Durch Umformungen erhalten wir
\(\qquad x^2-2x+1=0\)
\(\qquad (x-1)^2=0\)
Diese Gleichung hat eine doppelte Nullstelle bei \(x=1\).
Die Faktorform lautet:
\(\qquad g(x)= -2(x-1)^2\)
\(\enspace\)