Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Aufgabe 4
Die Flughöhe eines Fußballs (in \(\mathrm{m}\) und als Funktion der Zeit in Sekunden) nach dem Abstoß wird beschrieben durch die Funktion \(\qquad f: [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb R\) wobei \(\qquad f(t)=20t - 5t^2\) wenn wir Luftwiderstand und Hindernisse vernachlässigen. Angenommen, der Fußball wird in einer Halle mit Deckenhöhe \(8 \ \mathrm{m}\) abgeschlagen. Erreicht er dann die Decke? Wenn ja, nach wie vielen Sekunden? Erklärung Lösung: Der Ball erreicht nach \(0.45\) Sekunden die Hallendecke. Erläuterung: Zu untersuchen ist, ob es ein \(t\) gibt mit \(\qquad f(t) = 8 \) Das führt zur quadratischen Gleichung \(\qquad 20 t - 5 t^2 = 8 \) Wir formen die Gleichung um und lösen mit der \(abc\)-Formel: \(\qquad -5t^2+20t-8=0\) \(\qquad t_{1,2}=\dfrac{-20\pm\sqrt{400-4\cdot (-5)\cdot (-8)}}{2\cdot (-5)}\) \(\qquad t_1=\dfrac{-20-\sqrt{240}}{-10}\approx 3.55\) \(\qquad t_2=\dfrac{-20+\sqrt{240}}{-10}\approx 0.45\) Der Ball erreicht also nach \(0.45\) Sekunden die Hallendecke.  |  |
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