Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Funktionsbezeichnungen
Eine polynomiale Funktion vom Grad \(n\) ist eindeutig beschrieben durch ihre Koeffizienten \(a_0, \ldots, a_n\). Und umgekehrt sind auch die Koeffizienten \(a_0, \ldots, a_n\) durch die polynomiale Funktion schon eindeutig festgelegt.
So ist etwa \(f(x) = x^2\) die einzige Polynomfunktion, die als Graph die Normalparabel mit Scheitel in \((0 \,|\, 0)\) hat.
Merke:
\(\tiny \blacksquare\quad\) | Polynomfunktionen \(\qquad f(x)=a_0\) vom Grad \(0\) sind konstante Funktionen. |
\(\tiny \blacksquare\quad\) | Polynomfunktionen \(\qquad f(x)=a_1x+a_0\) vom Grad \(1\) sind lineare Funktionen. |
\(\tiny \blacksquare\quad\) | Polynomfunktionen \(\qquad f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0\) vom Grad \(2\) sind quadratische Funktionen. |
\(\tiny \blacksquare\quad\) | Polynomfunktionen \(\qquad f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) vom Grad \(3\) sind kubische Funktionen. |
\(\tiny \blacksquare\quad\) | Polynomfunktionen \(\qquad f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) vom Grad \(4\) sind quartische Funktionen. |
Die folgende Animation zeigt Schaubilder von Polynomfunktionen der Ordnung \(0\) bis \(6\). Über den oberen Schieberegler lässt sich der Grad variieren. Je nach Grad werden Schieberegler für die Koeffizienten \(a_0\) bis \(a_6\) angezeigt. Die Schieberegler für die Koeffizienten lassen sich jeweils zwischen \(-5\) und \(+5\) einstellen. Die Hauptkoeffizienten der Funktionen mit Grad größer gleich \(1\) sind hierbei nicht \(0\).
Erklärung Lösung: Eine punktsymmetrische Polynomfunktion 3. Grades geht immer durch den Ursprung. Erläuterung: Eine Polynomfunktion 3. Grades hat die Normalform \(\qquad f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\) Ist die Funktion punktsymmetrisch, so muss gelten: \(\qquad f(-x)=-f(x)\) Wir berechnen \(f(-x)\):
Wir bilden \(-f(x)\): \(\qquad -f(x)=-(a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0)=-a_3x^3-a_2x^2-a_1x-a_0\) Vergleichen wir \(f(-x)\) mit \(-f(x)\), so muss gelten: \(\qquad a_2x^2=-a_2x^2\), d.h. \(a_2\) muss den Wert \(0\) annehmen \(\qquad a_0=-a_0\), d.h. \(a_0\) muss den Wert \(0\) annehmen Dass \(a_0\) den Wert \(0\) annehmen muss, bedeutet, dass die Funktion durch den Ursprung geht. Alle anderen Aussagen lassen sich durch Beispiele widerlegen. Die Funktion \(f(x)=x^2+1\) ist eine achsensymmetrische Polynomfunktion 2. Grades, die nicht durch den Ursprung geht und auch keine zwei unterschiedlichen Nullstellen besitzt. Sie hat gar keine Nullstellen. Die Funktion \(f(x)=x^3\) ist eine punktsymmetrische Polynomfunktion 3. Grades, die keine drei unterschiedlichen Nullstellen besitzt. Ihre Nullstelle liegt im Ursprung. |  |
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