Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Faktorzerlegung
Ist \(f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\) eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) und \(x_1\) eine Nullstelle von \(f\) (gilt also \(f(x_1) = 0\)), so geht die Polynomdivision durch \(x-x_1\) ohne Rest auf. Es gibt also eine Polynomfunktion \(g\) vom Grad \(n-1\), so dass \(f(x) = (x-x_1) \cdot g(x)\). Dies haben wir bei der Faktorzerlegung im Kurs "Gleichungen und Ungleichungen" ausführlich erläutert. Dort wird auch die Ermittlung der Nullstelle behandelt. Damit erhalten wir:
Satz:
Jede Polynomfunktion \(f\) vom Grad \(n\) schreibt sich in der Form
\(\qquad f(x) = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \ldots (x-x_l) \cdot g(x)\)
mit \(l\in\{0,1,2,\ldots,n\}\), reellen Zahlen \(x_1, \ldots , x_l\) (die nicht notwendig paarweise verschieden sind) und einer Polynomfunktion \(g\) vom Grad \(n-l\), die keine reelle Nullstelle mehr hat.
Das erhalten wir durch sukzessive Anwendung obiger Regel über Polynomdivision.
Anmerkung:
Ist in der Darstellung dieser Regel \(l = n\), also \(g\) vom Grad \(0\), so sagen wir, dass \(f\) vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
In diesem Fall schreibt sich
\(\qquad f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} \ldots +a_1x+a_0\)
als
\(\qquad f(x) = a_n (x-x_1) \ldots (x-x_n)\)
mit \(a_n\in \mathbb{R}\).
Eine Polynomfunktion vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen \(x_i\). Für jede Nullstelle \(x_i\) taucht mindestens einmal der Faktor \(x-x_i\) in der Darstellung aus obigem Satz auf.
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