Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Faktorform
Merke:
Die Darstellung
\(\qquad f(x) = a_n(x-x_1) \cdot (x-x_2) \ldots (x-x_l) \cdot g(x)\)
mit den Nullstellen \(x_i\) mit \(i\in \{0,1,2,\ldots, l\}\) und einer Polynomfunktion \(g(x)\) vom Grad \(n-l\) ohne reelle Nullstellen
nennen wir Faktorform oder Produktform der Polynomfunktion
\(\qquad f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \)
Eine Polynomfunktion lässt sich nur dann in Faktorform schreiben, wenn sie überhaupt Nullstellen besitzt.
Erklärung Lösung: \(f\) hat höchstens \(n\) Nullstellen in \(\mathbb R\) Erläuterung: Ist \(r\) eine Nullstelle von \(f(x)\), so ergibt die Polynomdivision von \(f(x)\) durch \(x - r\) ein Polynom \(g(x)\) vom Grad \(n-1\). Jede weitere Nullstelle von \(f(x)\) ist auch eine von \(g(x)\). So wird durch jede gefundene Nullstelle des Polynoms der Grad um \(1\) reduziert, bis wir bei einem Polynom vom Grad \(0\), also einer Konstanten, ankommen (die keine weiteren Nullstellen mehr hat), oder bei einem Polynom ohne Nullstellen (wie etwa \(x^2+1\)). Da wir höchstens \(n\)-mal eine Polynomdivision durchführen können, gibt es also höchstens \(n\) Nullstellen. |  |
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