Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Beispiele
Beispiel:
Die Polynomfunktion
\(\qquad f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4\)
hat die Nullstellen \(-2\), \(-1\) und \(1\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse lauten \(N_1({-2}\,|\,0)\), \(N_2({-1}\,|\,0)\) und \(N_3({1}\,|\,0)\).
Es lässt sich leicht überprüfen, ob ein gegebener \(x\)-Wert eine Nullstelle der Funktion ist, indem der \(x\)-Wert in die Funktion eingesetzt wird. Ergibt sich daraus der Funktionswert \(0\), dann ist der \(x\)-Wert eine Nullstelle, ansonsten nicht.
Der \(x\)-Wert \(-2\) ist eine Nullstelle der Funktion, denn
\(\qquad f(-2) = 2\cdot (-2)^3 + 4\cdot (-2)^2 - 2\cdot (-2) - 4\)
\(\qquad\phantom{f(-2)}= -2\cdot 8 + 4\cdot 4 + 2\cdot 2 - 4 = -16 + 16 + 4 - 4=0\)
Der \(x\)-Wert \(-1\) ist eine Nullstelle der Funktion, denn
\(\qquad f(-1) = 2\cdot (-1)^3 + 4\cdot (-1)^2 - 2\cdot (-1) - 4\)
\(\qquad\phantom{f(-2)}= -2\cdot 1 + 4\cdot 1 + 2\cdot 1 - 4 = -2 + 4 + 2 - 4=0\)
Der \(x\)-Wert \(1\) ist eine Nullstelle der Funktion, denn
\(\qquad f(1) = 2\cdot 1^3 + 4\cdot 1^2 - 2\cdot 1 - 4 = 2 + 4 - 2 - 4 = 0\)
Damit hat \(f\) die Darstellung in Faktorform
\(\qquad f(x) = 2\cdot(x+2) \cdot (x+1) \cdot (x-1) \)
\(f\) zerfällt also vollständig in Linearfaktoren.
Beispiel:
Die Polynomfunktion
\(\qquad g(x) = x^3 -x^2+x-1\)
hat die Nullstelle \(1\) und damit den Schnittpunkt \(N(1\,|\,0)\) mit der \(x\)-Achse.
Es lässt sich leicht überprüfen, ob ein gegebener \(x\)-Wert eine Nullstelle der Funktion ist, indem der \(x\)-Wert in die Funktion eingesetzt wird. Ergibt sich daraus der Funktionswert \(0\), dann ist der \(x\)-Wert eine Nullstelle, ansonsten nicht.
Der \(x\)-Wert \(1\) ist eine Nullstelle der Funktion, denn
\(\qquad g(1) = 1^3 -1^2+1-1=1-1+1-1=0\)
Die Funktion schreibt sich in Faktorform
\(\qquad g(x) = (x-1) \cdot (x^2+1)\)
Beispiel:
Die Polynomfunktion
\(\qquad h(x) = x^2+1\)
hat keine reellen Nullstellen.
Die Funktion hat keine Nullstellen, denn
\(\qquad h(x)=x^2+1=0\)
hat im Reellen keine Lösung.
Da die Funktion keine Nullstellen hat, kann der Funktionsterm nicht weiter durch die Abspaltung von Linearfaktoren vereinfacht werden.
\(\enspace\)