Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Vielfachheit der Nullstelle
Eine Nullstelle kann bei der Faktorzerlegung einer Polynomfunktion mehrfach auftreten. Wie oft eine Nullstelle in der Faktorzerlegung vorkommt, wird als Vielfachheit der Nullstelle bezeichnet.
Definition:
Ein \(r \in \mathbb R\) heißt \(k\)-fache Nullstelle von \(f\), wenn in der Faktordarstellung
\(\qquad f(x) = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdots (x-x_l) \cdot g(x)\)
genau \(k\) der Zahlen \(x_1, \ldots, x_l\) den Wert \(r\) haben, wenn wir also
\(\qquad f(x) = (x-r)^k \cdot h(x)\)
schreiben können mit einer Polynomfunktion \(h(x)\), für die \(h(r) \neq 0\) ist.
Beispiel:
Für die Polynomfunktion
\(\qquad f(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x +2\)
stellen wir durch Ausprobieren fest, dass \(f(x)\) eine Nullstelle \(-1\) hat und dass wir \(f(x)\) zweimal durch \(x+1\) dividieren können. Damit erhalten wir die Darstellung
\(\qquad f(x) = (x+1)^2 \cdot (x^2+2)\)
Damit hat \(f\) die doppelte Nullstelle \(-1\) und keine weitere reelle Nullstelle.
Das Schaubild der Funktion berührt an der doppelten Nullstelle die \(x\)-Achse. Der Punkt \(P({-1}\,|\,0)\) ist also ein Berührpunkt der Funktion.
Erklärung Lösung: Die Nullstellen mit ihren Vielfachheiten lauten:
Erläuterung: Eine Nullstelle ist \(x_1=-1\), wie man einfach nachrechnen kann: \(\qquad f(-1)=(-1)^3-3 \cdot (-1)^2+4=-1-3+4=0\) Wir können die Funktion durch den Faktor \((x+1)\) teilen: \(\qquad (x^3-3x^2+4):(x+1)=x^2-4x+4\) Das Restpolynom können wir als quadriertes Binom schreiben und erhalten: \(\qquad x^3-3x^2+4 = (x+1)(x-2)^2\) Die Funktion hat also eine Nullstelle \(x_1=-1\) mit Vielfachheit \(1\) und eine Nullstelle \(x_2= 2\) mit Vielfachheit \(2\) und daher die beiden Punkte \(N_1({-1}\,|\,0)\) und \(N_2(2\,|\,0)\) auf der \(x\)-Achse.  |  |
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