Lösung:

Die Faktorform der Funktion lautet: \(\qquad f(x) = (x-2)(x+2)(x^2+1)\)

Erläuterung:

Um die Faktorform der Funktion zu erhalten, suchen wir die Nullstellen von \(f(x)\). Wir müssen also die Gleichung 

\(\qquad x^4-3x^2-4=0\)

lösen. Hierbei nutzen wir aus, dass es sich um eine biquadratische Gleichung handelt. Wir können deshalb Substitution anwenden:

\(\qquad u=x^2\qquad u^2=x^4\)

Die Gleichung lautet nach der Substitution:

\(\qquad u^2 - 3u - 4 = 0\) 

Wir lösen die Gleichung mit der \(pq\)-Formel und erhalten die folgenden Lösungen:

\(\qquad u_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{3}{2}\pm\frac{5}{2}\)

\(\qquad u_1=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-1\)

\(\qquad u_2=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4\)

Wir können die Funktion nun wie folgt in Faktoren zerlegen:

\(\qquad f(x)=(u+1)(u-4)=(x^2+1)(x^2-4)\)

Bisher haben wir Lösungen für \(u\). Wir finden Lösungen für \(x\) durch Resubstitution:

Die Funktion hat also die beiden Punkte \(N_1({-2}\,|\,0)\) und \(N_2(2\,|\,0)\) mit der \(x\)-Achse gemeinsam.

Der Faktor \((x^2+1)\) in der obigen Faktorzerlegung der Funktion kann in \(\mathbb{R}\) nicht weiter zerlegt werden. Der Faktor \((x^2-4)\) lässt sich in \((x-2)(x+2)\) zerlegen. Wir erhalten also die folgende Faktorform:

\(\qquad f(x)=(x+2)(x-2)(x^2+1)\)