Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen

Aufgabe 2

Von einer Polynomfunktion \(f(x)\) vom Grad \(3\) ist bekannt, dass \(x_1=1\), \(x_2= 2\) und \(x_3=3\) Nullstellen von \(f\) sind und dass \(f(0) = 3\) gilt.

Bestimmen Sie die Normalform von \(f(x)\).

Erklärung

Lösung:

Die Normalform der Funktion lautet: \(\qquad f(x)=-\dfrac{1}{2}x^3+3x^2-\dfrac{11}{2}x+3\)

Erläuterung:

Da die Nullstellen der Funktion gegeben sind, können wir die Faktorform ansetzen. Eine Funktion dritten Grades kann maximal \(3\) Nullstellen haben. Wir erhalten demnach:

\(\qquad f(x) = a(x-1) (x-2) (x-3)\)

Um die Konstante \(a\) zu berechnen, setzen wir \(f(0)=3\) in die Funktionsgleichung ein:

\(\qquad a(0-1) (0-2) (0-3)=3\)

Wir formen um und erhalten

\(\qquad -6a=3\)

\(\qquad a=-\frac{1}{2}\)

Die Funktion in Faktorform lautet:

\(\qquad f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)\)

Um die Normalform zu erhalten, müssen wir ausmultiplizieren:

\(\qquad f(x) = -\dfrac{1}{2}(x^2-3x+2)(x-3)\)

\(\qquad \phantom{f(x)}= -\dfrac{1}{2}(x^3-3x^2+2x-3x^2+9x-6)\)

\(\qquad \phantom{f(x)}= -\dfrac{1}{2}(x^3-6x^2+11x-6)\)