Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Definitionsbereich
Aus zwei Funktionen \(f, g: D \longrightarrow \mathbb R\) können wir dort, wo \(g(x) \neq 0\) ist, eine neue Funktion bilden, indem wir den Quotienten \(h(x) = \dfrac {f(x)}{g(x)}\) betrachten. Hierdurch erhalten wir eine Funktion
\(\qquad \begin{array} {r c l c l } h & : & D' & \longrightarrow & \mathbb R \\ & & x & \longmapsto & \dfrac {f(x)}{g(x)} \end{array}\)
wobei \(D' = \{ x \in D \ \vert \, g(x) \neq 0 \}\).
Bei dieser Bildung tritt erstmals in natürlicher Weise eine Einschränkung des Definitionsbereichs auf, die sich nicht vermeiden lässt, da der Nenner stets von Null verschieden sein muss.
Sind in dieser Situation \(f\) und \(g\) polynomiale Funktionen, so nennen wir \(h\) eine rationale Funktion.
Definition:
Eine Funktion der Form
\(\qquad \begin{array} {r c l c l } h & : & D' & \longrightarrow & \mathbb R \\ & & x & \longmapsto & \dfrac {f(x)}{g(x)} \end{array}\)
mit \(D' = \{ x \in D \ \vert \, g(x) \neq 0 \}\) und mit Polynomfunktionen \(f, g: D \longrightarrow \mathbb R\)
nennen wir eine rationale Funktion.
Beispiel:
Die folgende Funktion
\(\qquad h(x) = \dfrac {x^3 + 2 x^2 + 2 x + 1}{x^2 - 4}\)
ist eine rationale Funktion mit maximalem Definitionsbereich \(D_h = \mathbb R \setminus \{-2, 2\}\).
Die Funktion ist an den Stellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\) nicht definiert. Das Nennerpolynom nimmt an diesen Stellen den Wert \(0\) an.
Merke:
Ist das Nennerpolynom eine konstante Funktion, dann spricht man von einer ganzrationalen Funktion oder einer Polynomfunktion.
Hat das Nennerpolynom die Ordnung \(1\) oder höher, so spricht man auch von einer gebrochen-rationalen Funktion.
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