Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Definitionslücken
Merke:
Hat eine rationale Funktion \(f\) die Darstellung
\(\qquad f(x) = \dfrac {p(x)}{q(x)}\)
mit Polynomfunktionen \(p(x)\) und \(q(x)\), wobei \(q(x)\) den Grad \(n\) hat, so hat \(q(x)\) höchstens \(n\) Nullstellen.
Die Nullstellen von \(q(x)\) werden Definitionslücken genannt.
Damit ist \(f\) an höchstens \(n\) Punkten (nämlich den Nullstellen von \(q\)) nicht definiert.
Wir werden in diesem Lernmodul nicht genauer auf die Art der Definitionslücken (hebbare Definitionslücke, Pol, Asymptote) einer rationalen Funktion eingehen. Erläuterungen hierzu gibt es in den Lernmodulen "Funktionsgrenzwerte" und "Stetigkeit" des Kurses "Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit". Weitere Beispiele gibt es außerdem im Lernmodul "Kurvendiskussion" des Kurses "Differential- und Integralrechnung".
Beispiel:
Die Funktion
\(\qquad h(x) = \dfrac {x^2-2x-3}{x^2+x-2}=\dfrac {(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+2)}\)
hat die Nullstellen \(x_1=-1\) und \(x_2 = 3\) und die Definitionslücken \(x_3=-2\) und \(x_4=1\).
Erklärung Lösung: Es gibt rationale Funktionen mit Definitionslücken und es gibt rationale Funktionen ohne Definitionslücken. Erläuterung: Die rationale Funktion \(\qquad f(x) = \dfrac {1}{x^2+1}\) hat keine Definitionslücke. Die rationale Funktion \(\qquad f(x) = \dfrac {1}{x^2-1}\) hat die beiden Definitionslücken \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). |  |
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