Gleiche Funktion mit unterschiedlicher Beschreibung

Eine rationale Funktion lässt sich allgemein schreiben als

\(\qquad h(x) = \dfrac {a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_1 x + b_0}\)

In diesem Fall sind jedoch die Koeffizienten \(a_0, \ldots, a_n\) und \(b_0, \ldots, b_m\) nicht mehr eindeutig durch die rationale Funktion bestimmt (wie das etwa noch bei polynomialen Funktionen der Fall war). So wird etwa durch

\(\qquad h_1(x) = \dfrac {x^4 + x^3 +2x^2 + x + 1}{x^3 - x^2 + x - 1}\)

und durch

\(\qquad h_2(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 2x + 1}\)

dieselbe Funktion beschrieben.

So sehen wir etwa durch Ausprobieren, dass \(x = 1\) eine Nullstelle des Nenners von \(h_1(x)\) ist. Damit können wir den Nenner durch Polynomdivision in Faktoren zerlegen und erhalten

\(\qquad x^3-x^2+x - 1 = (x-1) \cdot (x^2+1)\)

Damit sehen wir, dass \(D_{h_1} = \mathbb R \setminus \{ 1 \}\).

Bei der Betrachtung des Nenners von \(h_2\) können wir die binomische Formel anwenden und erhalten

\(\qquad x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\)

so dass also auch \(D_{h_2} = \mathbb R \setminus \{ 1 \}\) gilt.

Betrachten wir den Zähler von \(h_1\) genauer, so sehen wir, dass wir hier \(x^2+1\) ausklammern können,

\(\qquad x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x^2 + x + 1 = x^2(x^2 + x + 1) + x^2 + x + 1 = (x^2+1) \cdot (x^2+x+1)\)

so dass also für \(x \neq 1\) gilt:

\(\qquad h_1(x) = \dfrac {(x^2+1) \cdot (x^2+x+1)}{(x^2+1) \cdot (x-1)} = \dfrac {x^2+x+1}{x-1}\)

Bei der Analyse des Zählers von \(h_2\) erhalten wir durch Faktorisierung

\(\qquad x^3-1 = (x-1) \cdot (x^2+x+1)\)

so dass hier für \(x \neq 1\) gilt

\(\qquad h_2(x) = \dfrac {(x-1) \cdot (x^2+x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac {x^2+x+1}{x-1}\)

Damit beschreiben also \(h_1\) und \(h_2\) die gleiche Funktion. Zwei rationale Funktionen können also übereinstimmen, auch wenn ihre Beschreibung unterschiedlich ist.

\(\enspace\)