\(f(x) = \dfrac {x^2 + x + 1}{x^2- 5x + 6}\)

Lösung:

Der maximale Definitionsbereich lautet: \(\qquad D_f=\mathbb{R}\setminus \{2,3\}\)

Erläuterung:

Wir suchen die Definitionslücken der Funktion, d.h. die Stellen, an denen der Nenner den Wert \(0\) annimmt. Der maximale Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne die Definitionslücken.

Mit der \(pq\)-Formel erhalten wir die Nullstellen von \(x^2- 5x + 6\):

\(\qquad x_{1,2}=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}-6}=\frac{5}{2}\pm\frac{1}{2}\)

\(\qquad x_1=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\)

\(\qquad x_2=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\)

Der maximale Definitionsbereich lautet: \(\qquad D_f=\mathbb{R}\setminus \{2,3\}\)

Um den Ursprung herum hat die Funktion das folgende Aussehen:

Betrachtet man das Schaubild der Funktion mit einer anderen Skalierung, dann erkennt man, dass auch Teile des Schaubilds im 4. Quadranten liegen.

\(g(x) = \dfrac { 2x^4 + 6}{x^3 - x^2 -2x}\)

Lösung:

Der maximale Definitionsbereich lautet: \(\qquad D_g=\mathbb{R}\setminus \{-1,0,2\}\)

Erläuterung:

Wir suchen die Definitionslücken der Funktion, d.h. die Stellen, an denen der Nenner den Wert \(0\) annimmt. Der maximale Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne die Definitionslücken.

Mit dem Satz vom Nullprodukt und der \(pq\)-Formel erhalten wir die Nullstellen von \(x^3 - x^2 -2x\):

\(\qquad x^3 - x^2 -2x=x(x^2 - x -2)=0\)

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die Gleichung dann \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) wird. Wir betrachten den ersten Faktor:

\(\qquad x=0\)

und erhalten die erste Nullstelle \(x_1=0\).

Außerdem muss der zweite Faktor den Wert \(0\) annehmen:

\(\qquad x^2 - x -2=0\)

Diese Gleichung lösen wir mit der \(pq\)-Formel und erhalten:

\(\qquad x_{2,3}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}\)

\(\qquad x_2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1\)

\(\qquad x_3=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\)

Der maximale Definitionsbereich lautet: \(\qquad D_g=\mathbb{R}\setminus \{-1,0,2\}\)

\(h(x) = \dfrac {x+1}{x^4-3x^2+2}\)

Lösung:

Der maximale Definitionsbereich lautet: \(\qquad D_h=\mathbb{R}\setminus \{-\sqrt{2},-1,1,\sqrt{2}\}\)

Erläuterung:

Wir suchen die Definitionslücken der Funktion, d.h. die Stellen, an denen der Nenner den Wert \(0\) annimmt. Der maximale Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne die Definitionslücken.

Mit Substitution und der \(pq\)-Formel erhalten wir die Nullstellen von \(x^4-3x^2+2\):

Substitution: \(\qquad u=x^2\qquad u^2=x^4\)

\(\qquad u^2-3u+2=0\)

\(\qquad u_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-2}=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}\)

\(\qquad u_1=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\)

\(\qquad u_2=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\)

Resubstitution: \(\qquad u_1=x^2=1\qquad x_1=-1\qquad x_2=1\)

Resubstitution: \(\qquad u_2=x^2=2\qquad x_3=-\sqrt{2}\qquad x_4=\sqrt{2}\)

Der maximale Definitionsbereich lautet: \(\qquad D_h=\mathbb{R}\setminus \{-\sqrt{2},-1,1,\sqrt{2}\}\)