Lösung:

Eine mögliche Funktion lautet: \(\qquad  f(x) = \dfrac {(x-1) (x-2)}{(x-3)(x-4)} = \dfrac {x^2-3x +2}{x^2-7x +12}\)

Erläuterung:

Wir können z.B. die rationale Funktion

\(\qquad f(x) = \dfrac {(x-x_1) (x-x_2)}{(x-x_3)(x-x_4)} = \dfrac {(x-1) (x-2)}{(x-3)(x-4)} = \dfrac {x^2-3x +2}{x^2-7x +12}\)

wählen oder jede andere rationale Funktion der Form

\(\qquad f(x) = \dfrac {p(x)}{q(x)}\)

mit Polynomfunktionen \(p(x)\) und \(q(x)\), die die Bedingungen erfüllen.

In den Punkten \(N_1(1\,|\,0)\) und \(N_2(2\,|\,0)\) schneidet die Funktion die \(x\)-Achse, da \(x_1=1\) und \(x_2=2\) Nullstellen von \(p(x)\) sind. Diese Stellen sind aber keine Nullstellen des Nennerpolynoms \(q(x)\).

Die Definitionslücken liegen bei \(x_3=3\) und \(x_4=4\). Diese Stellen sind die Nullstellen des Nennerpolynoms \(q(x)\).