Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Definition einer Wurzelfunktion
Polynome und rationale Funktionen sind dadurch gekennzeichnet, dass (ganzzahlige) Potenzen der Variablen betrachtet werden. Dieser Prozess kann teilweise umgekehrt werden:
Satz:
Ist \(x\) eine positive Zahl und ist \(n \in \mathbb N^*\) beliebig, so gibt es genau eine positive reelle Zahl \(y\) mit
\(\qquad y^n = x \)
Wir schreiben
\(\qquad y = \sqrt[n]{x}\)
und nennen \(\sqrt[n]{x}\) die n-te Wurzel aus \(x\).
Die allgemeinen Eigenschaften von Wurzeln werden ausführlich im Kurs "Potenzen, Wurzeln und Logarithmen" behandelt.
Neben den positiven Zahlen können wir natürlich auch noch \(x = 0\) betrachten, und in diesem Fall ist klar, dass \( 0^n = 0\) für alle \(n > 0 \).
Definition:
Die Abbildung
\(\qquad f : [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb R \qquad\) mit \(\quad f(x) = \sqrt[n]{x}\)
heißt n-te Wurzelfunktion.
Im Fall \(n = 2\) schreiben wir \(f(x) = \sqrt{x}\) und sprechen von der Wurzelfunktion (schlechthin).
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