Lösung:

Die Funktion, die die Seitenlänge \(a\) der kürzeren Seite des Rechtecks in Abhängigkeit vom Radius \(r\) des Kreises beschreibt, lautet:

\(\qquad a: [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb R\qquad\) mit \(\quad a(r) =-\dfrac{1}{2}+ \sqrt{\pi \cdot r^2+\dfrac{1}{4}}\)

Erläuterung:

Die Fläche des Rechtecks mit Seitenlänge \(a\) der kürzeren Seite lautet:

\(\qquad A(a)=a(a+1)=a^2+a\)

Die Fläche eines Kreises mit Radius \(r\) ist gegeben durch:

\(\qquad A(r)=\pi \cdot r^2\)

Da das Rechteck den gleichen Flächeninhalt wie der Kreis aufweist, können wir die Flächen gleichsetzen und erhalten:

\(\qquad A(a)=A(r)\)

\(\qquad a^2+a=\pi\cdot r^2\)

Wir lösen die Gleichung nach \(a\) auf:

\(\qquad a^2+a-\pi\cdot r^2=0\)

\(\qquad a_{1,2}=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\pi\cdot r^2+\dfrac{1}{4}}\)

Da Seitenlängen nur positiv sind, erhalten wir als gesuchte Funktion:

\(\qquad a: [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb R\qquad\) mit \(\quad a(r) =-\dfrac{1}{2}+ \sqrt{\pi \cdot r^2+\dfrac{1}{4}}\)

Lösung:

Die Funktion, die den Radius \(r\) des Kreises in Abhängigkeit von der kürzeren Seitenlänge \(a\) des Rechtecks beschreibt, lautet:

\(\qquad r: [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb R\qquad\) mit \(\quad r(a) = \sqrt{\dfrac{a^2+a}{\pi}}\)

Erläuterung:

Die Fläche eines Rechtecks mit Seitenlänge \(a\) der kürzeren Seite lautet:

\(\qquad A(a)=a(a+1)=a^2+a\)

Die Fläche eines Kreises mit Radius \(r\) ist gegeben durch:

\(\qquad A(r)=\pi \cdot r^2\)

Da das Rechteck den gleichen Flächeninhalt wie der Kreis aufweist, können wir die Flächen gleichsetzen und erhalten:

\(\qquad A(a)=A(r)\)

\(\qquad a^2+a=\pi\cdot r^2\)

Wir lösen die Gleichung nach \(r\) auf:

\(\qquad r^2=\dfrac{a^2+a}{\pi}\)

\(\qquad r=\sqrt{\dfrac{a^2+a}{\pi}}\)

Unsere gesuchte Funktion lautet:

\(\qquad r: [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb R\qquad\) mit \(\quad r(a) = \sqrt{\dfrac{a^2+a}{\pi}}\)