Lernmodul: Rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Aufgabe 2
Wir betrachten einen Zylinder mit Durchmesser \(d\) und Höhe \(d\), der oben von einer Halbkugel abgeschlossen wird (also von einer Halbkugel mit Radius \(\frac {d}{2}\)). Ermitteln Sie die Funktion, die den Durchmesser \(d\) des Zylinders in Abhängigkeit vom Volumen des Gesamtobjekts (Zylinder plus Halbkugel) beschreibt. Erklärung Lösung: Der Durchmesser wird in Abhängigkeit vom Volumen durch die folgende Funktion beschrieben: \(\qquad f: [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb R\qquad\) mit \(\quad f(x) = \sqrt[3]{\frac {3}{\pi} \cdot x}\) Erläuterung: Das Volumen \(V\) des Gesamtobjektes errechnet sich aus dem Volumen \(V_1\) des Zylinders und dem Volumen \(V_2\) der Halbkugel. Die allgemeinen Formeln zur Bestimmung des Volumens eines Zylinders und einer Kugel lauten: \(\qquad V_Z = \pi \cdot r^2 \cdot h\qquad\) mit \(\quad r =\) Radius der Grundfläche und \(h =\) Höhe des Zylinders \(\qquad V_K = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\qquad\) mit \(\quad r =\) Radius der Grundfläche Für unser Beispiel gilt in Abhängigkeit von \(d\): \(\qquad V_1 = \pi \cdot \left( \frac {d}{2} \right)^2 \cdot d \) \(\qquad V_2 = \frac {1}{2}\cdot \frac {4}{3} \cdot \pi \cdot \left( \frac {d}{2} \right)^3 \) Beachten Sie dabei, dass es sich um eine Halbkugel handelt. Daraus ergibt sich
Wir erhalten also \(\qquad d^3 = \frac {3}{\pi} \cdot V \) oder \(\qquad d = \sqrt[3]{\frac {3}{\pi} \cdot V} \) Also wird der Durchmesser in Abhängigkeit vom Volumen durch die folgende Funktion beschrieben: \(\qquad f: [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb R\qquad\) mit \(\quad f(x) = \sqrt[3]{\frac {3}{\pi} \cdot x}\)  |  |
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