Bogenmaß

Neben der Angabe in Grad sind weitere Winkelmaße üblich. Ein in der Mathematik (aber auch in vielen anderen Bereichen) wichtiges Maß ist das Bogenmaß. Der Vollwinkel hat ein Bogenmaß von \(2\pi=6.28318\ldots\) und entspricht dem Umfang eines Kreises mit Radius \(1\). Beliebige Winkel ergeben sich linear.

Zum Beispiel kann man mit Hilfe des Dreisatzes den Winkel \(\alpha=60^\circ\) in Bogenmaß berechnen:

Da \(360^\circ=2\pi\) gilt, erhalten wir (mit Division durch \(6\) auf beiden Seiten) \(60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}\).

Die Abbildung veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Gradmaß und Bogenmaß für \(\alpha=60^\circ\).

Der Vorteil des Bogenmaßes ist die einheitenlose Dimension, so können Gleichungen wie

\(\qquad \sin(\alpha)=\alpha\ (\implies \alpha=0)\quad\) oder \(\quad\cos(\alpha)=\alpha\ (\implies\alpha=0.739085\ldots)\)

direkt gelöst werden, während die Angabe in anderen Maßeinheiten erst die Umrechnung in das Bogenmaß erfordert.

Um darauf hinzuweisen, dass der Winkel im Bogenmaß angegeben wird, kann der Maßzahl das Einheitenzeichen „rad" für "Radiant" nachgestellt werden, also z.B.

\(\qquad\alpha = 2\pi\ \text {rad}\)

Teilweise werden Winkel im Bogenmaß nicht mit griechischen Zeichen, sondern mit kleinen lateinischen Buchstaben angegeben, z.B.

\(\qquad b=\dfrac{\pi}{2}\ \text {rad } \textrm{(}=90^{\circ}\textrm{)}\)

\(\enspace\)