Lernmodul: Grundlagen Geometrie
Trapez
Definition:
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten – hier die Seiten \(b\) und \(d\) – parallel sind. Über das Verhältnis der anderen beiden Seiten wird dabei nichts gefordert. Die beiden parallelen Seiten nennt man Grundseiten und die anderen beiden Seiten Schenkel.
Der Flächeninhalt eines Trapez \(T\), in dem die parallelen Seiten die Länge \(b\) und \(d\) und den Abstand \(h\) haben, beträgt
\(\qquad A=\dfrac {b+d}{2} \cdot h\)
Wir zeichnen zweimal die Höhe in das Trapez ein:
Dadurch zerfällt das Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke. Seine Fläche berechnet sich als (vgl. Lernmodul "Dreiecke", Kapitel "Rechtwinkliges Dreieck", Seite "Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks").
\(\qquad A = \dfrac {p \cdot h}{2} + d \cdot h + \dfrac {q \cdot h}{2}\)
Da \(p + q = b - d\) ist, erhalten wir
\(\qquad A = \dfrac {(b-d) \cdot h}{2} + d \cdot h = \dfrac {b + d}{2} \cdot h\)
wie gewünscht.
Streng genommen müssen wir noch mehrere Fälle betrachten. Wir können zwar immer annehmen, dass \(d\) die kürzere der beiden parallelen Seiten ist, indem wir das Trapez spiegeln, aber es kann sein, dass \(b\) links oder rechts 'übersteht'. Der Beweis kann leicht auf diese Situationen angepasst werden.
\(\enspace\)