Anschauliche Betrachtungsweise

Ein anschaulicher Gedanke hinter dem Stetigkeitsbegriff ist, dass der Graph einer stetigen Funktion eine zusammenhängende Kurve darstellt. Der Graph hat keine Sprungstellen oder Lücken.

Intuitiv sagt man oft, dass man den Graphen einer stetigen Funktion zeichnen kann, ohne mit dem Stift absetzen zu müssen. In vielen Fällen führt diese Vorstellung zu einer richtigen Klassifizierung stetiger Funktionen.

Beispiel:

Wir betrachten die ganzrationale Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch \(\qquad f(x) =\dfrac{2}{25}x^5-x^3+\dfrac{25}{8}x\) Die Funktion ist stetig. Sie weist keine Lücken oder Sprungstellen auf und lässt sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen.

\(\enspace\) \(\qquad\)

Wir bilden nun im folgenden Beispiel eine abschnittsweise definierte Funktion.

Beispiel:

Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion \(g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch \(\qquad g(x) =\left\{ \begin{array}{} \dfrac{2}{25}x^5-x^3+\dfrac{25}{8}x & \textsf{für} \enspace x \lt 1 \\ \\ \dfrac{2}{25}x^5-x^3+\dfrac{25}{8}x + 2 & \textsf{für} \enspace x \ge 1 \end{array}\right . \)

\(\enspace\)

Diese Funktion hat an der Stelle \(x_0=1\) eine Sprungstelle. Die Funktion ist nicht stetig. Ihr Graph kann nicht ohne Absetzen gezeichnet werden.

Der Graph im Beispiel der zusammengesetzten Funktion weist eine Stelle auf, an der eine Funktion nicht stetig ist. Der Graph macht an dieser Stelle einen Sprung. Man nennt diese Stelle deshalb auch Sprungstelle.

\(\enspace\)