Lernmodul: Stetigkeit
Definition der Stetigkeit
Eine Funktion heißt stetig an einer Stelle \(x_0\), wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle vorhanden ist und mit dem Funktionswert an der Stelle übereinstimmt. Dies lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken:
Definition:
Eine Funktion \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) heißt stetig in einer Stelle \(x_0\) mit \(x_0\in D\), wenn gilt:
\(\qquad\lim_\limits{x \to x_0}f(x)=f(x_0)\)
Ist dies nicht der Fall, dann heißt die Funktion unstetig in \(x_0\).
Eine Funktion heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Zur Verdeutlichung des Stetigkeitsbegriffs können wir auch auf die im letzten Lernziel eingeführten Begriffe des links- und rechtsseitigen Grenzwerts zurückgreifen.
Eine Funktion ist stetig an einer Stelle \(x_0\), wenn der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmt und beide dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) entsprechen. Es gilt also:
\(\qquad\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \lt x_0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \gt x_0}}f(x)=f(x_0)\)
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = x\)
Die Funktion ist stetig an jeder Stelle \(x_0\in\mathbb{R}\), da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0\) mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmt. Es gilt also:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \lt x_0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \lt x_0}}x=x_0\)
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \gt x_0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \gt x_0}}x=x_0\)
Und damit:
\(\qquad\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \lt x_0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to x_0 \\ x \gt x_0}}f(x)=f(x_0)=x_0\)
\(\enspace\)