Lernmodul: Stetigkeit
Rechenregeln für stetige Funktionen
Für das Rechnen mit stetigen Funktionen gelten Rechenregeln, die wir so ähnlich bereits bei den Folgengrenzwerten und den Funktionsgrenzwerten kennengelernt haben.
Rechenregeln für stetige Funktionen:
Wir betrachten zwei Funktionen \(f,g : D \longrightarrow \mathbb{R}\) und ein \(x_0 \in D\), so dass sowohl \(f\) als auch \(g\) stetig in \(x_0\in D\) sind. Ferner sei \(c\in\mathbb{R}\) eine Konstante.
Dann gelten die folgenden Rechenregeln:
Faktorregel:
Ist \(h(x)=c\cdot f(x)\), so ist \(h(x)\) stetig in \(x_0\).
Summenregel:
Ist \(h(x)=f(x) + g(x)\), so ist \(h(x)\) stetig in \(x_0\).
Ist \(h(x)=f(x) - g(x)\), so ist \(h(x)\) stetig in \(x_0\).
Produktregel:
Ist \(h(x)=f(x) \cdot g(x)\), so ist \(h(x)\) stetig in \(x_0\).
Quotientenregel:
Ist \(g(x_0)\ne 0\) und ist \( h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) für alle \(x\in D\) mit \(g(x)\ne 0\), so ist \(h(x)\) stetig in \(x_0\).
Kettenregel:
Wir betrachten zwei Funktionen
\(\qquad f:D\longrightarrow \mathbb{R}\quad\) und \(\quad g:E\longrightarrow \mathbb{R}\quad\) mit \(\quad f(D)\subseteq E\)
und ein \(x_0\in D\). Wir setzen \(a:=f(x_0)\).
Ist \(f\) stetig in \(x_0\) und \(g\) stetig in \(a\), so ist \(h := g \circ f\) stetig in \(x_0\).
Mit diesen Rechenregeln lässt sich nun die Stetigkeit ganzer Klassen an Funktionen ableiten.
Mit der Faktorregel, der Summenregel und der Produktregel können wir zeigen, dass alle ganzrationalen Funktionen stetig sind.
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Wir zeigen mit der Faktorregel: Aus der Stetigkeit der Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x\) und der konstanten Zahl \(c\in\mathbb{R}\) folgt nach der Faktorregel die Stetigkeit der Funktion \(\qquad h_1:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h_1(x)=c\cdot f(x)\) | |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Wir zeigen mit der Produktregel: Aus der Stetigkeit der Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x\) folgt nach der Produktregel die Stetigkeit der Funktion \(\qquad h_2:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h_2(x)=\overbrace{f(x) \cdot \ldots \cdot f(x)}^{n\text{-mal}}=\overbrace{x \cdot \ldots \cdot x}^{n\text{-mal}}=x^n\qquad\) und \(\qquad n\in\mathbb{N}\) | |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Wir zeigen mit der Faktor-, Produkt- und Summenregel: Aus der Stetigkeit der Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x\) und den konstanten Zahlen \(a_i\in \mathbb{R}\) mit \(i=0,1,\ldots ,n\) folgt nach der Faktorregel, der Produktregel und der Summenregel die Stetigkeit der Funktion \(\qquad h_3:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h_3(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1} + \ldots +a_1 x+a_0\qquad\) mit \(\quad n\in\mathbb{N}\quad\) und \(\quad a_i\in\mathbb{R}\quad \) mit \(\quad i=0,1,\ldots,n\) |
Mit der Quotientenregel können wir zeigen, dass alle gebrochen-rationalen Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig sind.
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Wir zeigen mit der Quotientenregel: Aus der Stetigkeit der ganzrationalen Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) und der Stetigkeit der ganzrationalen Funktion \(g: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) folgt nach der Quotientenregel die Stetigkeit der gebrochen-rationalen Funktion \(\qquad h:\mathbb{R}\setminus \{x\in \mathbb{R} \ |\ g(x)=0\}\longrightarrow\mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) |
Wir haben also mit den Rechenregeln für Stetigkeit gezeigt, dass ganzrationale und gebrochen-rationale, also rationale Funktionen, stetig auf ihrem Definitionsbereich sind.
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