Lernmodul: Stetigkeit
Klassen stetiger Funktionen
- Exponentialfunktionen \(a^x\),
- Logarithmusfunktionen \(\log_b(x)\),
- Wurzelfunktionen \(\sqrt{x}\) und
- trigonometrische Funktionen \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\) und \(\cot(x)\).
Eine Exponentialfunktion zur Basis \(a\) ist eine Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = a^x\)
für ein festes \(a\in\mathbb{R}, a \gt 0, a \ne 1\).
Die Funktionswerte sind immer positiv, liegen also oberhalb der \(x\)-Achse.
Alle Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt \((0\,|\,1)\), da \(a^0=1\) für \(a\ne 0\).
Ist \(a>1\), so ist die Exponentialfunktion streng monoton wachsend. Die Funktionswerte nähern sich für \(x\) gegen \(-\infty\) der \(x\)-Achse an. Die Funktion hat also die horizontale Asymptote \(y=0\) für \(x\to -\infty\). Für \(x\) gegen \(\infty\) wachsen die Funktionswerte über alle Maßen.
Für \(a>1\) gilt also:
\(\qquad \lim_\limits{x \to -\infty}f(x)=0\qquad\) und \(\qquad\lim_\limits{x \to \infty}f(x)=\infty\qquad\)
Ist \(0<a<1\), so ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend. Die Funktionswerte nähern sich für \(x\) gegen \(\infty\) der \(x\)-Achse an. Die Funktion hat also die horizontale Asymptote \(y=0\) für \(x\to \infty\). Für \(x\) gegen \(-\infty\) sind die Funktionswerte nicht beschränkt.
Für \(0<a<1\) gilt also:
\(\qquad \lim_\limits{x \to -\infty}f(x)=\infty\qquad\) und \(\qquad\lim_\limits{x \to \infty}f(x)=0\qquad\)
Eine Logarithmusfunktion zur Basis \(b\) ist eine Funktion \(f:\ ]0,\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = \log_b(x)\)
für ein festes \(b\in\mathbb{R}, b \gt 0, b \ne 1\).
Alle Logarithmusfunktionen gehen durch den Punkt \((1\,|\,0)\), da \(\log_b(1)=0\) für \(b \gt 0\).
Ist \(b>1\), so ist die Logarithmusfunktion streng monoton wachsend. Die Funktionswerte werden für \(x\) gegen \(0\) immer kleiner und gehen gegen \(-\infty\). Die Funktion hat also die vertikale Asymptote \(x=0\). Für \(x\) gegen \(\infty \) sind die Funktionswerte nicht beschränkt.
Für \(b>1\) gilt also:
\(\qquad \lim_\limits{x \to 0}f(x)=-\infty\qquad\) und \(\qquad\lim_\limits{x \to \infty}f(x)=\infty\qquad\)
Ist \(0<b<1\), so ist die Logarithmusfunktion streng monoton fallend. Die Funktionswerte wachsen für \(x\) gegen \(0\) über alle Maßen und nähern sich der \(y\)-Achse an. Die Funktion hat also die vertikale Asymptote \(x=0\). Für \(x\) gegen \(\infty \) werden die Funktionswerte immer kleiner. Sie sind nicht beschränkt.
Für \(0<b<1\) gilt also:
\(\qquad\lim_\limits{x \to 0}f(x)=\infty\qquad\) und \(\qquad\lim_\limits{x \to \infty}f(x)=-\infty\qquad\)
Die \(n\)-te Wurzelfunktion ist eine Funktion \(f:\ [0,\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = \sqrt[n]{x}\)
für ein festes \(n\in\mathbb{N}^*\).
Die Funktionswerte sind nicht-negativ, liegen also auf oder oberhalb der \(x\)-Achse.
Alle Wurzelfunktionen gehen durch den Punkt \((0\,|\,0)\), da \(\sqrt[n]{0}=0\), und durch den Punkt \((1\,|\,1)\), da \(\sqrt[n]{1}=1\).
Wurzelfunktionen sind streng monoton wachsend. Es gilt also:
\(\qquad \lim_\limits{x \to \infty}f(x)=\infty\qquad\)
Die trigonometrischen Funktionen sind periodische Funktionen. Sinus und Kosinus haben die primitive Periode \(2\pi\). Tangens und Kotangens die primitive Periode \(\pi\).
Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion \(f:\ \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = \sin(x)\)
Sie hat die primitive Periode \(2\pi\) und die Amplitude \(1\). Ihre Nullstellen liegen für \(k\in\mathbb{Z}\) bei \(x_k=k\cdot \pi\), ihre Hochpunkte bei \(x_k=\frac{\pi}{2}+2\cdot k\cdot \pi\) mit Funktionswert \(1\), ihre Tiefpunkte bei \(x_k=\frac{3\pi}{2}+2\cdot k\cdot \pi\) mit Funktionswert \(-1\).
Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion \(f:\ \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = \cos(x)\)
Sie hat die primitive Periode \(2\pi\) und die Amplitude \(1\). Ihre Nullstellen liegen für \(k\in\mathbb{Z}\) bei \(x_k=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi\), ihre Hochpunkte bei \(x_k=2\cdot k\cdot \pi\) mit Funktionswert \(1\), ihre Tiefpunkte bei \(x_k=\pi+2\cdot k\cdot \pi\) mit Funktionswert \(-1\).
Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind um \(\frac{\pi}{2}\) verschoben. Die Sinuskurve ist eine um \(\dfrac{\pi}{2}\) nach rechts verschobene Kosinuskurve. Die Kosinuskurve ist eine um \(\frac{\pi}{2}\) nach links verschobene Sinuskurve. Es gilt deshalb:
\(\qquad \sin(x)=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(\qquad \cos(x)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)
Die Funktionswerte der Sinus- und der Kosinusfunktion nähern sich für \(x\) gegen \(\infty\) bzw. für \(x\) gegen \(- \,\infty\) aufgrund ihrer Periodizität keinem bestimmten Wert an. Die Funktionen besitzen also keinen Grenzwert für \(x\) gegen \(\pm \,\infty\).
Die Tangensfunktion ist eine ungerade Funktion \(f:\ \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi\right\} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(k\in\mathbb{Z}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = \tan(x)\)
Sie hat die primitive Periode \(\pi\). Ihre Nullstellen liegen für \(k\in\mathbb{Z}\) bei \(x_k=k\cdot \pi\).
Die Tangensfunktion hat für \(k\in \mathbb{Z}\) Polstellen an den Stellen \(x_k=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi\). Nähern sich die \(x\)-Werte von links der Polstelle, so gehen die Funktionswerte gegen \(+\infty\). Nähern sich die \(x\)-Werte von rechts der Polstelle, so gehen die Funktionswerte gegen \(-\infty\). An den Polstellen hat die Funktion deshalb vertikale Asymptoten \(x=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi\).
Es gilt also für die Polstellen \(x_k=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi\) mit \(k\in \mathbb{Z}\):
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_k \\ x \lt x_k}}f(x)=\infty\qquad\) und \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_k \\ x \gt x_k}}f(x)=-\infty\qquad\)
Die Kotangensfunktion ist eine ungerade Funktion \(f:\ \mathbb{R}\setminus \left\{k\cdot \pi\right\} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(k\in\mathbb{Z}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = \cot(x)\)
Sie hat die primitive Periode \(\pi\). Ihre Nullstellen liegen für \(k\in\mathbb{Z}\) bei \(x_k=\frac{\pi}{2} +k\cdot \pi\).
Die Kotangensfunktion hat für \(k\in \mathbb{Z}\) Polstellen an den Stellen \(x_k=k\cdot \pi\). Nähern sich die \(x\)-Werte von links der Polstelle, so gehen die Funktionswerte gegen \(-\infty\). Nähern sich die \(x\)-Werte von rechts der Polstelle, so gehen die Funktionswerte gegen \(+\infty\). An den Polstellen hat die Funktion deshalb vertikale Asymptoten \(x=k\cdot \pi\).
Es gilt also für die Polstellen \(x_k=k\cdot \pi\) mit \(k\in \mathbb{Z}\):
\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_k \\ x \lt x_k}}f(x)=-\infty\qquad\) und \(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to x_k \\ x \gt x_k}}f(x)=\infty\qquad\)
Beispiel
Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad f(x) = \cos(e^{-x})\)
Wir können die Funktion auch wie folgt schreiben:
\(\qquad f(x)=\cos(e^{-x})=\cos\left(\dfrac{1}{e^{x}}\right)\)
- \(e^{-x}\) ist nach der Quotientenregel mit \(e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}\) stetig und
- \(\cos(e^{-x})\) ist nach der Kettenregel stetig.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(g: \mathbb{R}\setminus\{1\} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch
\(\qquad g(x)=3\cos(e^{-x})+\dfrac{2x+5}{x-1}\)
- \(\cos(e^{-x})\) ist stetig wie wir im vorhergehenden Beispiel gesehen haben und
- \(3 \cos(e^{-x})\) ist nach der Faktorregel stetig.
- \(2x+5\) ist als ganzrationale Funktion stetig,
- \(x-1\) ist als ganzrationale Funktion stetig,
- \(\dfrac{2x+5}{x-1}\) ist nach der Quotientenregel für \(x\ne 1\) stetig.
- die Teilfunktion \(3\cos(e^{-x})\) ist stetig,
- die Teilfunktion \(\dfrac{2x+5}{x-1}\) ist stetig für \(x\ne 1\) und
- die Summe der beiden Teilfunktionen ist nach der Summenregel ebenfalls stetig für \(x\ne 1\).
Wichtig ist bei dieser Funktion die Einschränkung des Definitionsbereichs. Die Stelle \(x_0=1\) muss aus dem Definitionsbereich genommen werden, da die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist. Der Definitionsbereich lautet deshalb \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
Erklärung Lösung: Die Funktion \(f\) ist an allen Stellen \(x \in \mathbb R\) stetig. Erläuterung: Wir können die Funktion wie folgt schreiben: \(\qquad f(x)=\cos (g(x))\qquad\) mit \(\qquad g(x)=\dfrac{x^3+x+2}{x^2+1}\) Die Funktion \(g(x) = \dfrac {x^3+x+2}{x^2+1}\) ist auf ganz \(\mathbb R\) definiert und (als rationale Funktion) dort auch stetig. Da der Kosinus stetig ist, ist nach der Kettenregel für Stetigkeit auch \(f(x)=\cos(g(x))\) auf ganz \(\mathbb R\) definiert und stetig.  |  |
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