Beispiel der Signum-Funktion

Die Signum- oder Vorzeichen-Funktion ist eine Funktion, die einer Zahl ihr Vorzeichen zuordnet. Wir haben die Signum-Funktion bereits im vorhergehenden Lernmodul kennengelernt.

Die Signum-Funktion für reelle Zahlen ist wie folgt definiert:

\(\qquad\operatorname{sgn}(x) :=\left\{ \begin{array}{} -1 & \textsf{für} \enspace x \lt 0 \\ 0 & \textsf{für} \enspace x = 0 \\ 1 & \textsf{für} \enspace x \gt 0 \end{array}\right . \)

Der linksseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0=0\) lautet:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)=-1\)

Der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0=0\) lautet:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}f(x)=1\)

Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0=0\) unterschiedlich sind, ist die Signum-Funktion in \(x_0=0\) nicht stetig.

Intuitiv sieht man die Unstetigkeit der Signum-Funktion auch an ihrem Graphen, da sich dieser nicht ohne Absetzen des Stiftes zeichnen lässt.

\(\enspace\)