Beispiel der Betragsfunktion

Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch

\(\qquad f(x) = \vert x \vert\)

Die Funktion ist stetig in \(x_0=0\), denn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert stimmen in \(x_0=0\) mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0=0\) überein. Es gilt:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)= \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}} (-x) = 0 = f(0) \)

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}} x =0 = f(0)\)

und daraus folgt:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}f(x)=f(0)=0\)

Die Funktion ist stetig auf ihrem Definitionsbereich \(\mathbb{R}\), da sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist.

Dies stimmt mit der intuitiven Vorstellung überein. Die Betragsfunktion ist stetig und ihr Graph lässt sich ohne Absetzen durchzeichnen.

\(\enspace\)