Lösung:   

Die Funktion ist nicht stetig an der Stelle \(x_0=0\).

Erläuterung:

Der linksseitige Grenzwert der Funktion für \(x_0=0\) stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0=0\) überein und lautet:

\(\qquad \lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}(-1)=f(0)=-1\)

Der rechtsseitige Grenzwert der Funktion für \(x_0=0\) lautet:

\(\qquad\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}x^2=0\)

Es gilt:

\(\qquad\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)=-1\ne0=\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}f(x)\)

Die Funktion ist also nicht stetig an der Stelle \(x_0=0\).