Lösung:   

Die Funktion ist stetig an der Stelle \(x_0=0\).

Erläuterung:

Die Funktion im Zähler ist als ganzrationale Funktion stetig.

Die Funktion im Nenner ist auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert. Sie ist aufgrund der Stetigkeit der Kosinus-Funktion und der Summenregel stetig.

Somit folgt aus der Quotientenregel die Stetigkeit der Funktion an der Stelle \(x_0=0\).

Für \(x_0=0\) erhalten wir:

\(\qquad \lim_\limits{x\to 0}f(x)\) \(=\lim_\limits{x\to 0}\dfrac{x^2-2}{\cos(x)+2}\) \(=\dfrac{\lim_\limits{x\to 0}(x^2-2)}{\lim_\limits{x\to 0}(\cos(x)+2)}\)

\(\qquad\phantom{\lim_\limits{x\to 0}f(x)}=\dfrac{\lim_\limits{x\to 0}(x^2-2)}{\lim_\limits{x\to 0}\cos(x)+\lim_\limits{x\to 0}2}\) \(=\dfrac{0^2-2}{\cos(0)+2}\) \(=\dfrac{-2}{1+2}\) \(=-\dfrac{2}{3}\)

\(\qquad\)