Beispiel einer oszillierenden Funktion

An die Grenzen der anschaulichen Vorstellungen von Stetigkeit stößt man bei der Betrachtung komplexerer Funktionen. Hierzu ist es dann notwendig, sich an der mathematischen Definition der Stetigkeit zu orientieren.

Wir betrachten erneut eine oszillierende Funktion, die wir so ähnlich bereits im vorhergehenden Lernmodul vorgestellt haben.

Beispiel:

Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch

\(\qquad f(x) =\left\{ \begin{array}{} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & \textsf{für} \enspace x \ne 0 \\ 0 & \textsf{für} \enspace x = 0 \end{array}\right . \)

Wie wir bereits im Beispiel gesehen haben, besitzt die Funktion \(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) keinen Grenzwert an der Stelle \(x_0 = 0\), da es Folgen \((x_n)_{n \geq 1}\) gibt, die gegen \(x_0 = 0\) gehen, für die die Folgen \((f(x_n))_{n \geq 1}\) aber unterschiedliche Grenzwerte haben. 

Die Funktion besitzt also keinen linksseitigen und keinen rechtsseitigen Grenzwert in \(x_0=0\) und kann daher nicht stetig in \(x_0=0\) sein.

Beispiel:

Wir betrachten die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch

\(\qquad f(x) =\left\{ \begin{array}{} x \cdot \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & \textsf{für} \enspace x \ne 0 \\ 0 & \textsf{für} \enspace x = 0 \end{array}\right . \)

Die Funktion besitzt den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert \(0\) in \(x_0=0\) und dieser stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0=0\) überein. Es gilt also:

\(\qquad\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \lt 0}}f(x)=\lim_\limits{\substack{x \to 0 \\ x \gt 0}}f(x)=f(0)=0\)

Obwohl wir gezeigt haben, dass die Funktion stetig ist, kann man sie nicht ohne abzusetzen zeichnen, da sie in der Umgebung der Null unendlich oft oszilliert. Man muss zum Bestimmen des Grenzwertes auf die Definition zurückgreifen.

Das obige Beispiel zeigt, dass die Vorstellung des Durchzeichnens-ohne-Absetzen zwar eine Orientierung für "einfache Funktionen" liefern kann. Sobald man sich allerdings mit fortgeschrittenen mathematischen Inhalten beschäftigt, ist eine Überprüfung der Stetigkeit auf Grundlage einer formalen Definition unabdingbar.

\(\enspace\)