Beispiel einer zusammengesetzten Funktion

Betrachten wir nun eine zusammengesetzte Funktion und schauen uns ihr Schaubild genauer an.

Beispiel:

Wir betrachten die Funktion \(f: [0;1] \longrightarrow \mathbb{R}\), die gegeben ist durch

\(\qquad f(x) =\left\{ \begin{array}{} 0 & \textsf{für} \enspace x \in \mathbb{Q} \\ 1 & \textsf{für} \enspace x \notin \mathbb{Q} \end{array}\right . \)

Skizzieren wir die Bildpunkte für rationale \(x\)-Werte, z.B. für die \(x\)-Werte \(0, \frac{1}{100}, \frac{2}{100}, \ldots \frac{99}{100},1\), so nehmen die Funktionswerte den Wert \(0\) an.

Skizzieren wir die Bildpunkte für irrationale \(x\)-Werte, z.B. für die \(x\)-Werte \(\frac{\sqrt{2}}{142}, \frac{2\sqrt{2}}{142}, \frac{3\sqrt{2}}{142}, \ldots \frac{99\sqrt{2}}{142},\frac{100\sqrt{2}}{142}\), so nehmen die Funktionswerte den Wert \(1\) an.

Das Schaubild scheint aus zwei parallelen Linien zu bestehen. Rückschlüsse vom Graphen der Funktion auf die Funktionsvorschrift lassen sich aus der Anschauung jedoch nicht ziehen.

Hier versagt die anschauliche Vorstellung. Wir können nicht vom Aussehen des Graphen auf die Funktion selbst und auch nicht auf ihre Stetigkeit schließen.

\(\enspace\)