Lösung:

\(\lim_\limits{x\to\infty}f(x)=\lim_\limits{x\to\infty}\sin\left(\dfrac{3x+6}{2x-1}\right)=\sin\left(\dfrac{3}{2}\right)\approx 0.9975\)

Erläuterung:

Wir betrachten \(\dfrac{3x+6}{2x-1}\) und erhalten durch Umformen und mit den Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen:

\(\qquad \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{3x+6}{2x-1}=\lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{3+\frac{6}{x}}{2-\frac{1}{x}}=\dfrac{3}{2}\)

Mit diesem Grenzwert und der Kettenregel erhalten wir:

\(\qquad \lim_\limits{x\to\infty}\sin\left(\dfrac{3x+6}{2x-1}\right)\) \(=\sin\left(\dfrac{3}{2}\right)\approx 0.9975\)